Matriks Hesse

Dalam matematika, matriks Hesse adalah matriks persegi dari turunan parsial orde kedua dengan fungsi bernilai skalar, atau medan skalar. Matriks ini juga dikenal sebagai matriks Hessian, Hessian, atau Hesse. Matriks ini mendeskripsikan kelengkungan lokal dari fungsi banyak peubah. Matriks Hesse dikembangkan pada abad ke-19 oleh matematikawan berkebangsaan Jerman, Ludwig Otto Hesse, dan kemudian dinamai dengan namanya. Hesse semula menggunakan istilah "determinan fungsional".

Definisi dan sifat

Misal f : ℝⁿ → ℝ adalah fungsi yang mengambil masukan sebuah vektor x ∈ ℝⁿ dan menghasilkan skalar f(x) ∈ ℝ. Jika semua turunan parsial kedua f ada dan kontinu di dalam domain fungsi, maka matriks Hesse H dari f merupakan matriks persegi n×n, biasanya didefinisikan dan disusun sebagai berikut:

${\displaystyle \mathbf {H} f={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}&{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{n}}}\\[2.2ex]{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{n}}}\\[2.2ex]\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\[2.2ex]{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}\end{bmatrix}}.}$

atau, dengan menyatakan sebuah persamaan untuk koefisien menggunakan indeks i dan j:

${\displaystyle (\mathbf {H} f)_{i,j}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}.}$

Determinan matriks Hesse disebut dengan determinan Hesse.^[1]

Matriks Hesse berkaitan dengan matriks Jacob lewat hubungan H(f(x)) = J(∇f(x)).

Matriks Hesse merupakan matriks simetris jika semua turunan parsial kedua f kontinu dalam lingkungan D dari titik x yang diberikan. Hal ini adalah akibat dari Teorema Schwarz yang menyatakan kekontinuan turunan kedua fungsi menyebabkan urutan diferensiasi fungsi tidak berpengaruh. Sehingga,

${\displaystyle \mathbf {H} f_{ij}={\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\right)={\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\right)=\mathbf {H} f_{ji}}$

Aplikasi

Uji turunan kedua

Matriks Hesse dari suatu fungsi cembung bersifat semidefinit positif. Sifat ini dapat digunakan untuk menguji apakah suatu titik kritis x merupakan maksimum lokal, minimum lokal, atau titik pelana, dengan cara:

Jika matriks Hesse definit positif di x, maka f mencapai minimum lokal terpencil di x. Sedangkan jika matriks Hesse definit negatif di x, maka f mencapai maksimum lokal terpencil di x. Jika matriks Hesse memiliki nilai eigen positif dan negatif, maka x adalah titik pelana untuk f. Selain kasus-kasus tersebut, uji ini tidak dapat menyimpulkan apa pun. Kondisi ini dipenuhi pada minimum lokal, matriks Hesse merupakan semidefinit positif, dan pada maksimum lokal, matriks Hesse merupakan semidefinit negatif.

Perhatikan bahwa untuk matriks Hesse semidefinit positif dan semidefinit negatif, uji ini tidak dapat menyimpulkan apapun (titik kritis tempat matriks Hesse semidefinit, tetapi bukan definit, titik tersebut mungkin merupakan ekstremum lokal atau titik pelana). Akan tetapi, lebih banyak yang dapat dibicarakan dari sudut pandang teori Morse.

Uji turunan kedua fungsi satu dan dua peubah sederhana. Pada fungsi satu peubah, matriks Hesse hanya memuat satu turunan kedua; jika positif maka x adalah minimum lokal, dan jika negatif maka x adalah maksimum lokal; jika nol maka uji tidak dapat menyimpulkan apapun. Pada fungsi dua peubah determinan dapat digunakan karena determinan merupakan hasil kali nilai eigen. Jika determinan positif maka kedua nilai eigen sama-sama positif atau negatif. Jika determinan bernilai negatif, maka kedua nilai eigen berbeda tanda. Jika determinan bernilai nol, maka uji turunan kedua tidak dapat memyimpulkan apapun.

Setara dengan itu, kondisi orde kedua yang minimum atau maksimum lokalnya dapat cukup diekspresikan dalam barisan minor (determinan submatriks) utama (ujung kiri atas) matriks Hesse; kasus ini terjadi ketika jumlah kendala sama dengan nol. Secara khusus, kondisi cukup untuk minimum adalah ketika semua minor utama bernilai positif, sedangkan kondisi cukup untuk maksimum adalah minor berbeda tanda dengan minor 1×1 bertanda negatif.

Titik kritis

Jika gradien (vektor turunan parsial) dari fungsi f nol pada suatu titik x, maka f memiliki titik kritis (atau titik stasioner) di x. Determinan matriks Hesse di x kemudian disebut diskriminan. Jika determinan ini bernilai nol, maka x disebut titik kritis merosot f, atau titik kritis non-Morse f. Di luar itu, titik kritis tersebut takmerosot, dan disebut titik kritis Morse f.

Matriks Hesse memainkan peran penting dalam teori Morse dan teori katastrofe karena kernel dan nilai eigennya memberikan klasifikasi titik kritis.^[2][3][4]

Lihat pula

• Determinan matriks Hesse merupakan kovarian; lihat Invarian bentuk biner
• Identitas polarisasi, berguna untuk menghitung dengan cepat yang melibatkan Hesse.
• Matriks Jacob
• Persamaan Hesse

Catatan

Bacaan lanjutan

• Lewis, David W. (1991). Matrix Theory. Singapore: World Scientific. ISBN 978-981-02-0689-5. 
• de Bondt, Michiel; Essen, Arno van den (2005-01-01). "Hesse and the Jacobian conjecture". Affine Algebraic Geometry: Special Session on Affine Algebraic Geometry at the First Joint AMS-RSME Meeting, Seville, Spain, June 18-21, 2003. Contemporary Mathematics. 369. hlm. 63–76. doi:10.1090/conm/369/06804. ISBN 978-0-8218-3476-3. ISSN 1098-3627. 
• de Bondt, Michiel; van den Essen, Arno (2004). "Singular Hessians". Journal of Algebra. 282 (1): 195–204. doi:10.1016/j.jalgebra.2004.08.026. 

Pranala luar

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Hessian of a function", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Hessian". MathWorld.