Deret geometrik

Artikel ini berisi tentang deret geometri takhingga. Untuk penjumlahan terhingga, lihat barisan geometri.

Dalam matematika, sebuah deret geometrik adalah sebuah deret dengan sebuah rasio konstanta antara suku yang berurutan. Sebagai contoh, deret

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{8}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,\cdots }$

adalah geometrik, karena setiap suku yang berurutan bisa diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya oleh ${\textstyle {\frac {1}{2}}}$.

Deret geometrik termasuk contoh yang paling sederhana dari deret tak terhingga dengan penjumlahan hingga, meskipun tidak semua dari mereka memiliki sifat ini. Menurut sejarah, deret geometrik memainkan peran penting dalam pengembangan kalkulus sebelumnya, dan mereka melanjutkan menjadi pusat dalam studi konvergensi deret. Deret geometris digunakan di seluruh matematika, dan mereka memiliki penerapan penting dalam fisika, teknik, biologi, ekonomi, ilmu komputer, teori antrean, dan keuangan.

Rasio umum

Isrilah dari sebuah deret geometrik membentuk sebuah progresi geometrik, artinya rasio dari suku yang berurutan dalam deret adalah konstanta. Hubungan ini memungkinkan untuk mewakili dari sebuah deret geometrik menggunakan hanya dua suku, ${\displaystyle r}$ dan ${\displaystyle a}$. suku ${\displaystyle r}$ adalah rasio umum, dan ${\displaystyle a}$ adalah suku pertama dari deret. Sebagai sebuah contoh deret geometrik diberikan dalam pendahuluan;

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{8}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,\cdots }$

hanya dapat ditulis sebagai

${\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots }$ , dengan ${\displaystyle a={\frac {1}{2}}}$ dan ${\displaystyle r={\frac {1}{2}}}$.

Tabel berikut menunjukkan beberapa deret geometrik dengan

Suku awal, ${\displaystyle a}$	Rasio umum, ${\displaystyle r}$	Contoh deret
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 10}$	${\displaystyle 4+40+400+4\ 000+40\ 000+\dots }$
${\displaystyle 9}$	${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$	${\displaystyle 9+3+1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{9}}+\dots }$
${\displaystyle 7}$	${\displaystyle {\frac {1}{10}}}$	${\displaystyle 7+0.7+0.07+0.007+0.0007+\dots }$
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 3+3+3+3+3+\dots }$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle 1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}-{\frac {1}{32}}+\dots }$
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 3-3+3-3+3-\dots }$

Perilaku dari suku tergantung pada rasio umum ${\displaystyle r}$.

• Jika ${\displaystyle r}$ diantara ${\displaystyle -1}$ dan ${\displaystyle +1}$, suku dari deret mendekati nol dalam limit (menjadi lebih kecil dan lebih kecil, lihat ukurannya), dan deret konvergen dengan sebuah penjumlahan. Dalam kasus di atas, dimana ${\displaystyle r}$ adalah ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$, deretnya konvergen dengan ${\displaystyle 1}$.
• Jika ${\displaystyle r}$ lebih besar daripada satu atau lebih kecil daripada negatif satu, suku dari deret menjadi lebih besar dan lebih besar dalam ukurannya. Jumlah dari suku juga menjadi lebih besar dan lebih besar, dan deretnya tidak memiliki penjumlahan (deretnya divergen.)
• Jika ${\displaystyle r}$ sama dengan satu, semua suku dari deret akan sama. Deretnya divergen.
• Jika ${\displaystyle r}$ adalah negatif satu, sukunya mengambil dua nilai secara bergantian (sebagai contoh, ${\displaystyle 2,-2,2,-2,2,\dots }$). Penjumlahan dari sukunya berkisar antara dua nilai (sebagai contoh, ${\displaystyle 2,0,2,0,2,\dots }$). Ini adalah berbagai jenis divergen dan lagi deretnya tidak memiliki jumlah. Lihat misalnya deret Grandiː ${\displaystyle 1-1+1-1+\dots }$ː

Jumlah

Jumlah dari sebuah deret geometrik adalah hingga selama nilai absolut dari rasio kurang dari 1, karena bilangan mendekati nol, mereka menjadi sangat kecil, memungkinkan sebuah penjumlahan untuk dihitung meskipun deretnya mengandung suku banyak yang takhingga.

Contoh

Tinjau penjumlahan dari deret geometrik berikut ini

${\displaystyle s\;=\;1\,+\,{\frac {2}{3}}\,+\,{\frac {4}{9}}\,+\,{\frac {8}{27}}\,+\,\cdots }$.

Deret ini memiliki rasio ${\displaystyle {\frac {2}{3}}}$. Jika kita mengalikan melalui oleh rasio ini, maka awalnya ${\displaystyle 1}$ menjadi ${\displaystyle {\frac {2}{3}}}$, ${\displaystyle {\frac {2}{3}}}$ menjadi ${\displaystyle {\frac {4}{9}}}$, dan begitu seterusnyaː

${\displaystyle {\frac {2}{3}}s\;=\;{\frac {2}{3}}\,+\,{\frac {4}{9}}\,+\,{\frac {8}{27}}\,+\,{\frac {16}{81}}\,+\,\cdots }$.

Deret baru ini sama dengan aslinya, kecuali bahwa suku pertama menghilang. Mengurangi deret baru ${\displaystyle {\frac {2}{3}}s}$ dengan deret asli ${\displaystyle s}$ membatalkan setiap suku dalam aslinya tetapi pertamanya,

${\displaystyle s\,-\,{\frac {2}{3}}s\;=\;1,\;\;\;{\mbox{so }}s=3.}$

Sebuah teknik yang serupa bisa digunakan untuk mengevaluasi setiap ekspresi serupa diri.

Rumus

Untuk ${\displaystyle r\neq 1}$, jumlah dari suku pertama ${\textstyle n}$ dari sebuah deret geometrik adalah

${\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n-1}=\sum _{k=0}^{n-1}ar^{k}=a\left({\frac {1-r^{n}}{1-r}}\right),}$

dimana ${\displaystyle a}$ adalah suku pertama dari deret, dan ${\displaystyle r}$ adalah rasio. Salah satunya bisa menurunkan rumus untuk penjumlahan, ${\displaystyle s}$, sebagai berikutː

Karena ${\displaystyle n}$ mendekati tak terhingga, nliai absolut ${\displaystyle r}$ harus lebih kecil dari satu untuk deret ke konvergen. Penjumlahannya kemudian menjadi

Ketika ${\displaystyle a=1}$, ini bisa disederhanakan menjadi

${\displaystyle 1\,+\,r\,+\,r^{2}\,+\,r^{3}\,+\,\cdots \;=\;{\frac {1}{1-r}}}$,

sisi kiri menjadi sebuah deret geometrik dengan rasio ${\displaystyle r}$.

Rumusnya juga berlaku untuk kompleks ${\displaystyle r}$, dengan pembatasan yang sesuai, modulus ${\displaystyle r}$ sangat kurang dari satu.

Bukti kekonvergenan

Kita bisa membuktikan bahwa deret geometrik konvergen menggunakan rumus penjumlahan untuk sebuuah barisan geometrikː

${\displaystyle {\begin{aligned}1+r+r^{2}+r^{3}+\cdots \ &=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+r+r^{2}+\cdots +r^{n}\right)\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}.\end{aligned}}}$

Karena

${\displaystyle {\begin{aligned}(1+r+r^{2}+\dots +r^{n})(1-r)&=(1-r)+(r-r^{2})+\dots +(r^{n}-r^{n+1})\\&=1+(-r+r-r^{2}+r^{2}-\dots -r^{n}+r^{n})-r^{n+1}\\&=1-r^{n+1}\,\,{\text{dan}}\,\,r^{n+1}\to 0\,\,{\text{untuk}}\,\,|r|<1\end{aligned}}}$

Kekonvergenan dari deret geometrik bisa juga didemonstrasikan dengan menulis deret sebagai sebuah deret teleskopik yang setara,

${\displaystyle g(K)={\frac {r^{K}}{1-r}}}$.

Perhatikan bahwa

Dengan demikian,

${\displaystyle S=1+r+r^{2}+r^{3}+\cdots =(g(0)-g(1))+(g(1)-g(2))+(g(2)-g(3))+\cdots }$.

Jika

${\displaystyle |r|<1}$,

maka

${\displaystyle g(K)\longrightarrow 0{\text{ karena }}K\to \infty }$.

Jadi ${\displaystyle S}$ konvergen dengan

${\displaystyle g(0)={\frac {1}{1-r}}}$.

Penerapan

Desimal berulang

Sebuah desimal berulang dapat dianggap sebagai sebuah deret geometrik yang rasio adalah satu pangkat ${\textstyle {\frac {1}{10}}}$. Sebagai contohː

${\displaystyle 0.7777\ldots \;=\;{\frac {7}{10}}\,+\,{\frac {7}{100}}\,+\,{\frac {7}{1000}}\,+\,{\frac {7}{10000}}\,+\,\cdots }$.

Rumus untuk penjumlahan dari sebuah deret geometrik bisa digunakan untuk mengubah desimal menjadi sebuah pecahan,

${\displaystyle 0.7777\ldots \;=\;{\frac {a}{1-r}}\;=\;{\frac {7/10}{1-1/10}}\;=\;{\frac {7/10}{9/10}}\;=\;{\frac {7}{9}}}$.

Rumusnya bekerja tidak hanya untuk sebuah angka tunggal berulang, tetapi juga untuk sebuah kelompok angka berulang. Sebagai contohː

${\displaystyle 0.123412341234\ldots \;=\;{\frac {a}{1-r}}\;=\;{\frac {1234/10000}{1-1/10000}}\;=\;{\frac {1234/10000}{9999/10000}}\;=\;{\frac {1234}{9999}}}$.

Perhatikan bahwa setiap deret dari desimal berulang yang berulang juga dapat dengan mudah disederhanakan dengan berikut iniː

${\displaystyle 0.09090909\ldots \;=\;{\frac {09}{99}}\;=\;{\frac {1}{11}}}$.

${\displaystyle 0.143814381438\ldots \;=\;{\frac {1438}{9999}}}$.

${\displaystyle 0.9999\ldots \;=\;{\frac {9}{9}}\;=\;1}$.

Artinya, sebuah desimal berulang dengan panjang berulang ${\displaystyle n}$ sama dengan hasil bagi dari bagian berulang (sebagai sebuah bilangan bulat) dan ${\displaystyle 10^{n}-1}$.

Kuadratur Archimedes dari parabola

Archimedes mengunakan jumlah dari sebuah deret geometrik untuk menghitung luas tertutup oleh sebuah parabola dan sebuah garis lurus. Metodenya memisahkan luas menjadi sebuah jumlah segitiga yang tak terhingga.

Teorema Archimedes menyatakan bahwa total luas di bawah parabola adalah 4/3 dari luas segitiga berwarna biru.

Archimedes menentukan bahwa setiap segitiga berwarna hijau memiliki 1/8 luas dari segitiga berwarna biru, setiap segitiga berwarna kuning memiliki 1/8 luas dari sebuah segitiga berwarna hijau, dan seterusnya.

Mengasumsikan bahwa segitiga berwarna biru memiliki luas ${\displaystyle 1}$, total luas dari sebuah penjumlahan takhingga

${\displaystyle 1\,+\,2\left({\frac {1}{8}}\right)\,+\,4\left({\frac {1}{8}}\right)^{2}\,+\,8\left({\frac {1}{8}}\right)^{3}\,+\,\cdots }$.

Suku pertama mewakili luas dari segitiga berwarna biru, suku kedua mewakili luas dari dua segitiga berwarna hijau, suku ketiga mewakili luas dari empat segitiga berwarna kuning, dan seterusnya. Menyederhanakan pecahan-pecahan memberikan

${\displaystyle 1\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,{\frac {1}{64}}\,+\,\cdots }$.

Ini adalah sebuah deret geometrik dengan rasio ${\textstyle {\frac {1}{4}}}$ dan bagian pecahan sama dengan

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }4^{-n}=1+4^{-1}+4^{-2}+4^{-3}+\cdots ={4 \over 3}}$.

Penjumlahan dari

${\displaystyle {\frac {1}{1-r}}\;=\;{\frac {1}{1-{\frac {1}{4}}}}\;=\;{\frac {4}{3}}}$.

Perhitungan ini menggunakan metode penghabis, sebuah versi sebelumnya integrasi. Menggunakan kalkulus, luas yang sama bisa ditemukan oleh sebuah integral tentu.

Geometri fraktal

Dalam studi fraktal, deret geometrik sering kali muncul sebagai keliling, luas, atau volume dari sebuah gambar yang serupa diri.

Sebagai contoh, luas dalam kepingan salju Koch bisa dijelaskan sebagai gabungan dari banyaknya segitiga sama sisi tak terhingga (lihat gambar). Setia sisi dari segitiga berwarna hijau tepatnya 1/3 ukuran dari sebuah sisi dari segitiga besar berwarna biru, dan karena itu tepat 1/9 luas. Demikian pula, setiap segitiga berwarna kuning memiliki 1/9 luas dari sebuah segitiga berwarna hijau, dan seterusnya. Mengambil segitiga berwarna biru sebagai sebuah satuan luas, total area dari kepingan salju adalah

${\displaystyle 1\,+\,3\left({\frac {1}{9}}\right)\,+\,12\left({\frac {1}{9}}\right)^{2}\,+\,48\left({\frac {1}{9}}\right)^{3}\,+\,\cdots }$.

Suku pertama dari deret ini mewakili luas dari segitiga berwarna biru, suku kedua , total luas dari tiga segitiga berwarna hijau, suku ketiga, total luas dari duabelas segitiga kuning, dan seterusnya. Tidak termasuk awalnya ${\displaystyle 1}$, deret ini adalah geometrik dengan rasio konstanta ${\textstyle r={\frac {4}{9}}}$. Suku pertama dari deret geometrik adalah ${\textstyle a=3\left({\frac {1}{9}}\right)={\frac {1}{3}}}$, jadi jumlah dari

${\displaystyle 1\,+\,{\frac {a}{1-r}}\;=\;1\,+\,{\frac {\frac {1}{3}}{1-{\frac {4}{9}}}}\;=\;{\frac {8}{5}}}$.

Dengan demikian, kepingan salju Koch memiliki 8/5 luas dari segitiga alas.

Paradoks Zeno

Kekonvergenan dari sebuah deret geometrik mengungkapkan bahwa sebuah penjumlahan dari sebuah bilangan takhingga yang dijumlahkan memang bisa terbatas, dan juga memungkinkan salah satu untuk menyelesaikan banyaknya paradonks Zeno.. Sebagai contoh, paradoks dikotomi Zeno menyatakan bahwa gerakan itu tidak mungkin, sebagai salah satu bisa dibagi setiap lintasan yang hingga menjadi sebuah bilangan takhingga dari langkah-langkah dimana setiap langkah diambil menjadi setengah jarak yang tersisa. Kesalaan Zeno ada dalam asumsi bahwa jumlah dari sebuah bilangan takhingga dari langkah-langkah terhingga tidak bisa terhingga. Ini tentu saja tidak benar, sebagaimana dibuktikan oleh kekonvergenan dari deret geometrik dengan ${\textstyle r={\frac {1}{2}}}$.

Ini, bagaimanpun, bukanlah resolusi lengkap untuk paradoks dikotomi Zeno. Tegasnya, kecuali kita memungkinkan untuk waktu bergerak mundur, dimana ukuran langkah mulia dengan ${\textstyle r={\frac {1}{2}}}$ dan mendekati nol sebagai limit, deret takhingga ini jika tidak harus dimulai dengan sebuah langkah sangat kecil. Memperlakukan infinitesimal dalam cara ini biasanya bukan sesuatu yang didefinisikan secara matematis dengan ketat, diluar Kalkulus Nonstandar. Jadi, meskipun benar bahwa di seluruh penjumlahan takhingga menghasilkan sebuah bilangan terhingga, kita tidak dapat menciptakan sebuah pengurutan sederhana dari suku-suku ketika dimulai dari sebuah infintesimal, dan karena itu kita tidak cukup emenggambarkan langkah pertma dari setiap aksi yang diberikan.

Euklid

Buku IX, Proposisi 35^[1] Euclid's Elements mengekspresikan jumlah parsial dari sebuah deret geometrik dalam suku anggota-anggota dari deret. Itu setara dengan rumus modern.

Ilmu ekonomi

Dalam ilmu ekonomi, deret geometrik digunakan untuk mewakili nilai kini dari sebuah anuitas (jumlah uang untuk dibayar dalam interval-interval reguler).

Sebagai contoh, misalkan bahwa sebuah pembayaran $100 akan dibuat untuk pemiliknya dari anuitas sekali setahun (di akhir tahun) dalam perpetuitas. Menerima $100 setahun dari sekarang kurang berharga daripada $100 langsung, karena salah satu tidak bisa menginvetasi uang hingga salah satu menerimanya. Khususnya, nilai kini $100 setahun ke depan adalah ${\textstyle {\frac {\$100}{1+I}}}$, dimana ${\displaystyle I}$ adalah suku bunga tahunan.

Demikian pula, pembayaran $100 dua tahun ke depan memiliki nilai saat ini ${\textstyle {\frac {\$100}{(1+I)^{2}}}}$ (kuadrat karena bunga dua tahun hilang dengan tidak menerima uang sekarang). Karena itu, nilai kini dari menerima uang $100 per tahun dalam perpetuitas adalah

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\$100}{(1+I)^{n}}}}$,

yang merupakan deret takhinggaː

${\displaystyle {\frac {\$100}{(1+I)}}\,+\,{\frac {\$100}{(1+I)^{2}}}\,+\,{\frac {\$100}{(1+I)^{3}}}\,+\,{\frac {\$100}{(1+I)^{4}}}\,+\,\cdots }$.

Ini adalah deret geometrik dengan rasio ${\textstyle {\frac {1}{1+I}}}$. Jumlah dari suku pertama dibagi dengan (dikurangi satu rasio).

${\displaystyle {\frac {\$100/(1+I)}{1-1/(1+I)}}\;=\;{\frac {\$100}{I}}}$.

Sebagai contoh, jika suku bunga tahunan 10% (${\displaystyle I=0.10}$), maka seluruh anuitas memiliki sebuah nilai kini ${\displaystyle {\frac {\$100}{0.1}}=\$1\ 000}$.

Perhitungan semacam ini digunakan untuk menghitung tingkat persentase tahunan dari sebuah pinjaman (seperti kredit peminjaman rumah).

Deret pangkat geometrik

Rumus untuk sebuah deret geometrik

${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots }$

bisa diartikan sebagai sebuah deret pangkat dalam pengertian teorema Taylor, konvergen dimana ${\displaystyle \left|x\right|<1}$. Dari ini, salah satu dapat mengekstrapolasi untuk mendapatkan deret pangkat lainnya. Sebagai contoh,

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan ^{-1}(x)&=\int {\frac {dx}{1+x^{2}}}\\&=\int {\frac {dx}{1-(-x^{2})}}\\&=\int \left(1+\left(-x^{2}\right)+\left(-x^{2}\right)^{2}+\left(-x^{2}\right)^{3}+\cdots \right)dx\\&=\int \left(1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\cdots \right)dx\\&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}.\end{aligned}}}$

Dengan mendiferensiasikan deret geometrik, salah satunya mendapatkan varian^[2]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }nx^{n-1}={\frac {1}{(1-x)^{2}}}\quad {\text{ untuk }}|x|<1}$.

Diperoleh serupaː

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }n(n-1)x^{n-2}={\frac {2}{(1-x)^{3}}}\quad {\text{ untuk }}|x|<1}$ , dan

${\displaystyle \sum _{n=3}^{\infty }n(n-1)(n-2)x^{n-3}={\frac {6}{(1-x)^{4}}}\quad {\text{ untuk }}|x|<1}$.

Lihat pula

• 0.999... – Perpanjang desimal alternatif dari bilangan 1
• Asimtot – Dalam geometri, limit dari tangen pada sebuah titik yang cenderung ke takhingga
• Barisan geometrik
• Deret (matematika) – Penjumlahan takhingga
• Deret geometrik divergen
• Deret Neumann
• Fungsi hipergeometrik umum
• Uji akar
• Uji rasio

Deret geometrik spesifik

• Deret Grandiː 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯
• 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯
• 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯
• 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯
• 1/2 – 1/4 + 1/8 – 1/16 + ⋯
• 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯
• Sebuah deret geometrik adalah sebuah deret satuan (deret penjumlahan konvergen dengan 1) jika dan hanya jika ${\displaystyle \left|r\right|<1}$ dan ${\displaystyle a+r=1}$ (setara dengan bentuk yang lebih dikenal ${\textstyle S={\frac {1}{a-r}}=1}$ ketika ${\displaystyle \left|r\right|<1}$). Karena itu, sebuah deret selang-seling juga sebuah deret satuan ${\displaystyle -1<r<0}$ dan ${\displaystyle a+r=1}$ (sebagai contoh, skala ${\displaystyle a=1.7}$ dan rasio ${\displaystyle r=-0.7}$).
• Suku dari sebuah deret geometrik juga suku dari sebuah urutan Fibonacci yang digeneralisasi (${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}$ tetapi tanpa membutuhkan ${\displaystyle F_{0}=0}$ dan ${\displaystyle F_{1}=1}$) ketika sebuah rasio deret geometrik ${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$ sama dengan rasio emas (yaitu rasio ${\textstyle r={\frac {1\pm {\sqrt {5}}}{2}}}$).
• Satu-satu deret geometrik yang adalah sebuah deret satuan dan juga memiliki suku-suku dari sebuah barisan Fibonacci yang digeneralisasi memiliki rasio emas sebagai skalanya ${\displaystyle a}$ dan konjugasinya rasio emas sebagai rasionya ${\displaystyle r}$ (yaitu ${\textstyle a={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ dan ${\textstyle r={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}}$). Itu adalah sebuah deret satuan karena ${\displaystyle a+r=1}$ dan ${\displaystyle \left|r\right|<1}$, itu adalah sebuah barisan Fibonacci yang digeneralisasi karena ${\textstyle 1+r=r^{2}}$, dan itu adalah sebuah deret selang-seling karena ${\displaystyle r<0}$.

Referensi

Pranala luar

• "Geometric progreDssion", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Geometric Series". MathWorld.
• Geometric Series at PlanetMath.org.
• Peppard, Kim. "College Algebra Tutorial on Geometric Sequences and Series". West Texas A&M University. 
• Casselman, Bill. "A Geometric Interpretation of the Geometric Series". Diarsipkan dari versi asli (Applet) tanggal 2007-09-29.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• "Geometric Series" by Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project, 2007.