Kalkulus matriks

Dalam matematika kalkulus matriks adalah notasi khusus untuk menghitung kalkulus multivariabel (kalkulus peubah banyak), terutama pada ruang matriks. Pada ruang matriks notasi ini mendefinisikan turunan matriks. Notasi ini cocok untuk memerikan sistem persamaan diferensial, dan mengambil turunan dari fungsi matriks terhadap variabel berbentuk matriks pula. Kalkulus matriks umum digunakan dalam statistika dan rekayasa, sedangkan notasi indeks tensor lebih disukai dalam fisika.

Notasi

Misalkan M(n,m) melambangkan ruang matriks riil n x m dengan n baris dan m kolom. Unsur ruang matriks ini dilambangkan sebagai F, X, Y, dan seterusnya. Sebuah unsur M(n,1), yaitu vektor kolom, dilambangkan dengan huruf kecil tebal x, dengan x^T melambangkan vektor baris transposnya. Unsur M(1,1) adalah skalar, dan dilambangkan dengan a, b, f, t, dan seterusnya.

Kalkulus vektor

Karena ruang M(n,1) diidentifikasikan dengan ruang Euklides Rⁿ dan M(1,1) diidentifikasikan dengan R, notasi di sini dapat mengakomodasi operasi biasa dalam kalkulus vektor.

• Vektor singgung terhadap kurva x: R → Rⁿ adalah

  ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial x_{1}}{\partial t}}\\\vdots \\{\frac {\partial x_{n}}{\partial t}}\\\end{bmatrix}}.}$

• Gradien fungsi skalar f: Rⁿ → R

  ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\\\end{bmatrix}}.}$

  Turunan berarah f ke arah v adalah

  ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }f={\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }}\mathbf {v} .}$

• Diferensial fungsi f: R^m → Rⁿ dideskripsikan oleh matriks Jacobi

  ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {x} }}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{m}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{m}}}\\\end{bmatrix}}.}$

  Diferensial sepanjang f dari vektor v dalam R^m adalah

  ${\displaystyle d\,\mathbf {f} (\mathbf {v} )={\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {x} }}\mathbf {v} .}$

Kalkulus matriks

Analog terhadap ketiga turunan yang ditemukan sebelumnya di kalkulus vektor dapat ditemukan dalam kalkulus matriks.

• Vektor singgung kurva F: R → M(n,m)

  ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial t}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial F_{1,1}}{\partial t}}&\cdots &{\frac {\partial F_{1,m}}{\partial t}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial F_{n,1}}{\partial t}}&\cdots &{\frac {\partial F_{n,m}}{\partial t}}\\\end{bmatrix}}.}$

• Gradien fungsi skalar f: M(n,m) → R

  ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {X} }}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial X_{1,1}}}&\cdots &{\frac {\partial f}{\partial X_{n,1}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial X_{1,m}}}&\cdots &{\frac {\partial f}{\partial X_{n,m}}}\\\end{bmatrix}}.}$

  Perhatikan bahwa urutan indeks gradien terhadap X terbalik dibandingkan dengan urutan indeks X. Turunan berarah f ke arah matriks Y diberikan oleh

  ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {Y} }f=\operatorname {tr} \left({\frac {\partial f}{\partial \mathbf {X} }}\mathbf {Y} \right),}$

  dengan tr melambangkan trace dari matriks.
• Diferensial atau turunan matriks dari fungsi ${\displaystyle F:M(n,m)\Rightarrow M(p,q)}$ adalah unsur dari ${\displaystyle M(p,q)\otimes M(m,n)}$, sebuah tensor peringkat empat (pembalikan m dan n di sini menandakan ruang dual dari M(n,m)). Singkatnya, diferensial ini adalah matriks m×n yang masing-masing entrinya adalah matriks p×q.

  ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial \mathbf {X} }}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial X_{1,1}}}&\cdots &{\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial X_{n,1}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial X_{1,m}}}&\cdots &{\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial X_{n,m}}}\\\end{bmatrix}},}$

  Catat pula bahwa tiap ∂F/∂X_i,j adalah matriks p×q yang didefinisikan seperti di atas. Catat pula bahwa matriks ini memiliki indeks yang dibalikkan: m baris dan n kolom. Diferensial sepanjang F dari sebuah matriks Y berukuran n×m dalam M(n,m) adalah

  ${\displaystyle d\mathbf {F} (\mathbf {Y} )=\operatorname {tr} \left({\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial \mathbf {X} }}\mathbf {Y} \right).}$

  Definisi ini meliputi semua definisi sebelumnya sebagai kasus khusus.

Persamaan identitas

Perkalian matriks tidak komutatif, karena itu agar identitas berikut berlaku, urutan perkalian tidak boleh diubah.

• Kaidah rantai: Bila Z adalah fungsi dari Y, yang pada gilirannya adalah fungsi dari X

  ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {Z} }{\partial \mathbf {X} }}={\frac {\partial \mathbf {Z} }{\partial \mathbf {Y} }}{\frac {\partial \mathbf {Y} }{\partial \mathbf {X} }}}$

• Kaidah darab:

  ${\displaystyle {\frac {\partial (\mathbf {Y} ^{T}\mathbf {Z} )}{\partial \mathbf {X} }}=(\mathbf {Z} ^{T}){\frac {\partial \mathbf {Y} }{\partial \mathbf {X} }}+(\mathbf {Y} ^{T}){\frac {\partial \mathbf {Z} }{\partial \mathbf {X} }}}$

Pranala luar

• (Inggris)Matrix calculus Diarsipkan 2003-06-13 di Wayback Machine. Apendiks dari buku Introduction to Finite Element Methods di University of Colorado at Boulder. Menggunakan definisi Hessian untuk turunan vektor dan matriks.
• (Inggris)Matrix calculus Matrix Reference Manual, Imperial College London.
• (Inggris)The Matrix Cookbook, dengan bab turunan. Menggunakan definsi Hessian.