Punkt regularny

Punkt regularny – punkt leżący na krzywej o tej własności, że przez punkt ten przechodzi dokładnie jedna styczna^[1]. Wszystkie punkty regularne krzywej tworzą łuk regularny.

Teoria różniczkowania

W ogólnej teorii różniczkowania, przez punkt regularny rozumie się następujące pojęcie:

Niech ${\displaystyle X,Y}$ będą przestrzeniami Banacha oraz odwzorowanie ${\displaystyle G\colon X\to Y}$ będzie różniczkowalne w punkcie ${\displaystyle x_{0}\in X}$ takim, że ${\displaystyle G(x_{0})=0.}$ Punkt ${\displaystyle x_{0}}$ nazywamy punktem regularnym zbioru ${\displaystyle M=\{x\ \in X\colon \;G(x)=0\},}$ jeżeli pochodna odwzorowania ${\displaystyle G}$ w punkcie ${\displaystyle x_{0}}$ jest suriekcją ${\displaystyle X\to Y.}$

Szczególne przypadki

• Jeśli ${\displaystyle Y=\mathbb {R} ,}$ to punkt ${\displaystyle x_{0}\in M\subseteq X}$ jest regularny wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle G'(x_{0})\neq 0.}$

• Jeśli natomiast ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{m},Y=\mathbb {R} ^{n},m\leqslant n,G=(g_{1},\dots ,g_{n}),}$ to punkt ${\displaystyle x_{0}\in M\subseteq X}$ jest regularny wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy

${\displaystyle \operatorname {r} \left[{\frac {\partial g_{i}}{\partial x_{j}}}(x_{0})\right]_{{1\leqslant i\leqslant n} \atop {1\leqslant j\leqslant m}}=m.}$

Zobacz też

• przestrzeń styczna
• punkt osobliwy

Przypisy