Operator d’Alemberta

Operator d’Alemberta (dalambercjan) – operator różniczkowy II rzędu definiowany w czterowymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego. Jest odpowiednikiem operatora Laplace’a ${\displaystyle \Delta }$ definiowanego w 3-wymiarowej przestrzeni Euklidesowej.

Operator ten jest oznaczany symbolem ${\displaystyle \square }$ „kwadrat” (rzadziej używane jest oznaczenie ${\displaystyle \square ^{2}}$). Wykorzystywany m.in. do zwięzłego zapisu równania falowego klasycznej elektrodynamiki czy równania Kleina-Gordona elektrodynamiki kwantowej.

Przyjmując sygnaturę metryki ${\displaystyle ({-}{+}{+}{+})}$ czasoprzestrzeni, operator ten wyrazimy za pomocą jego składowych.

Współrzędne ${\displaystyle t,x,y,z}$

We współrzędnych ${\displaystyle t,x,y,z}$ operator d’Alemberta ma postać^[1][2][3]

${\displaystyle \square =\triangle -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}},}$

gdzie:

${\displaystyle \triangle }$ – operator Laplace’a,

${\displaystyle c}$ – prędkość światła w próżni.

Po rozpisaniu operatora Laplace’a otrzyma się

${\displaystyle \square ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}.}$

Współrzędne ${\displaystyle x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}}$

We współrzędnych ${\displaystyle x^{0}=ct,x^{1}=x,x^{2}=y,x^{3}=z}$ mamy:

${\displaystyle \square =-{\frac {\partial ^{2}}{\partial (x^{0})^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial (x^{1})^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial (x^{2})^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial (x^{3})^{2}}}.}$

Zapis skrócony

Operator d’Alemberta zapisuje się za pomocą iloczynu skalarnego czterogradientu – przy czym iloczyn skalarny w 4-wymiarowej czasoprzestrzeni definiuje się jako sumę iloczynów współrzędnych kowariantnych i kontrawariantnych, tj.

${\displaystyle \square =\partial _{\mu }\partial ^{\mu },}$

gdzie:

${\displaystyle \partial _{\mu }\equiv {}_{,\mu }\equiv {\dfrac {\partial }{\partial x^{\mu }}}=\left(\partial _{0},\partial _{1},\partial _{2},\partial _{3}\right)=\left(\partial _{0},{\vec {\nabla }}\right)}$ – składowe kowariantne 4-gradientu,

${\displaystyle \partial ^{\mu }\equiv {}^{,\mu }\equiv {\dfrac {\partial }{\partial x_{\mu }}}=\left(\partial ^{0},\partial ^{1},\partial ^{2},\partial ^{3}\right)=\left(-\partial _{0},{\vec {\nabla }}\right)}$ – składowe kontrawariantne 4-gradientu.

Wstawiając współrzędne, otrzyma się

${\displaystyle \square =\partial _{\mu }\partial ^{\mu }=\Delta -(\partial _{0})^{2},}$

przy czym

${\displaystyle \Delta ={\vec {\nabla }}^{2},}$

${\displaystyle (\partial _{0})^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial (x^{0})^{2}}}.}$

Zastosowania

Teoria drgań

Równanie falowe np. dla małych drgań (poziomej) struny

${\displaystyle \Box u\left(x,t\right)\equiv u_{xx}-{\frac {1}{c^{2}}}u_{tt}=0,}$

gdzie:

${\displaystyle u}$ – przemieszczenie (w pionie) struny od położenia równowagi,

${\displaystyle x}$ – współrzędna położenia punktu na strunie,

${\displaystyle t}$ – czas.

Elektrodynamika klasyczna

Równanie falowe fali elektromagnetycznej w próżni

${\displaystyle \Box A^{\mu }=0,}$

gdzie ${\displaystyle A^{\mu }}$ – czteropotencjał pola elektromagnetycznego.

Elektrodynamika kwantowa

Równanie Kleina-Gordona

${\displaystyle (\Box +m^{2})\psi =0.}$

Zobacz też

1. Operatory różniczkowe 4-wymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego

• czterogradient
• czterowektor (tu m.in. na temat iloczynu skalarnego 4-wektorów)

2. Operatory różniczkowe 3-wymiarowej przestrzeni euklidesowej

• dywergencja
• gradient
• operator Laplace’a
• operator nabla
• rotacja

3. Operatory różniczkowe w n-wymiarowej rozmaitości pseudoriemannowskiej

• dywergencja na rozmaitości
• gradient na rozmaitości
• operator Laplace’a na rozmaitości

Przypisy

Bibliografia

• David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Cambridge University Press, 2017.

Linki zewnętrzne

• D'Alembert operator (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].