Pochodna Diniego

Pochodne Diniego – klasa uogólnień zwykłej pochodnej.

Definicja formalna

Górna pochodna Diniego, nazywana też górną pochodną prawostronną[1], funkcji ciągłej f : R → R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } oznaczana symbolem f + ′ {\displaystyle f'_{+}} jest zdefiniowana jako

f + ′ ( t ) := lim sup h → 0 + f ( t + h ) − f ( t ) h , {\displaystyle f'_{+}(t):=\limsup _{h\to 0_{+}}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}},}

gdzie lim sup {\displaystyle \limsup } oznacza granicę górną. Dolna pochodna Diniego, oznaczana f − ′ , {\displaystyle f'_{-},} jest zdefiniowana wzorem

f − ′ ( t ) := lim inf h → 0 + f ( t + h ) − f ( t ) h , {\displaystyle f'_{-}(t):=\liminf _{h\to 0_{+}}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}},}

gdzie lim inf {\displaystyle \liminf } jest granicą dolną.

Jeżeli f {\displaystyle f} jest określona na przestrzeni liniowej, to górną pochodną Diniego w punkcie t {\displaystyle t} w kierunku d {\displaystyle d} definiuje się wzorem

f + ′ ( t , d ) := lim sup h → 0 + f ( t + h d ) − f ( t ) h . {\displaystyle f'_{+}(t,d):=\limsup _{h\to 0_{+}}{\frac {f(t+hd)-f(t)}{h}}.}

Jeżeli f {\displaystyle f} jest lokalnie lipschitzowska, to f + ′ {\displaystyle f'_{+}} jest skończona. Jeśli f {\displaystyle f} jest różniczkowalna w t , {\displaystyle t,} to pochodna Diniego w t {\displaystyle t} pokrywa się ze zwykłą pochodną w tym punkcie.

Uwagi

Czasem, zamiast f + ′ ( t ) , f − ′ ( t ) {\displaystyle f'_{+}(t),\;f'_{-}(t)} stosuje się odpowiednio zapisy D + ⁡ f ( t ) , D − ⁡ f ( t ) {\displaystyle \operatorname {D} ^{+}f(t),\;\operatorname {D} _{-}f(t)} [1]. Ponadto

D − ⁡ f ( t ) := lim sup h → 0 − f ( t + h ) − f ( t ) h {\displaystyle \operatorname {D} ^{-}f(t):=\limsup _{h\to 0_{-}}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}}

oraz

D − ⁡ f ( t ) := lim inf h → 0 − f ( t + h ) − f ( t ) h . {\displaystyle \operatorname {D} _{-}f(t):=\liminf _{h\to 0_{-}}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}.}

W ten sposób w notacji z D {\displaystyle \operatorname {D} } znak (minus/plus) mówi o tym, czy brana jest granica lewo-, czy prawostronna, zaś jego położenie mówi o jej rodzaju (dolna/górna). Każda z pochodnych Diniego zawsze istnieje w rozszerzonym zbiorze liczb rzeczywistych; mogą jednak czasem przyjmować wartości + ∞ {\displaystyle +\infty } lub − ∞ {\displaystyle -\infty } (tzn. pochodne Diniego zawsze istnieją w sensie rozszerzonym).

Zobacz też

  • Ulisse Dini

Przypisy

  1. ↑ a b H.K. Khalil: Nonlinear Systems. Wyd. III. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 2002. ISBN 0-13-067389-7.

Bibliografia

  • T.P. Lukashenko: Dini derivative. Michiel Hazewinkel (red.). w: Encyclopaedia of Mathematics Kluwer Academic Publishers, 2001. ISBN 978-1556080104. (ang.).
  • H.L. Royden: Real analysis. Wyd. II. MacMillan, 1968. ISBN 978-0-02-404150-0.
  • p
  • d
  • e
pojęcia ogólne
analiza
wielowymiarowa
twierdzenia
uczeni

Ten artykuł zawiera materiał z artykułu Pochodna Diniego na PlanetMath, który został udostępniony na licencji Creative Commons Attribution/Share-Alike License.