Quadripotenziale

Il quadripotenziale è il potenziale associato al campo elettromagnetico in relatività ristretta: si tratta di una funzione a valori vettoriali che risulta invariante rispetto a delle particolari trasformazioni, chiamate trasformazioni di Lorentz.

Il quadripotenziale è un vettore a quattro componenti, di cui la prima è il potenziale elettrico e le restanti sono le tre componenti del potenziale vettore magnetico, ed è un campo di gauge, ovvero possiede gradi di libertà ridondanti (da cui segue che differenti campi possono descrivere la stessa situazione fisica). Nel gauge di Lorenz, in particolare, è un quadrivettore,[1] dal momento che nelle trasformazioni di coordinate tra due riferimenti inerziali rispetta le trasformazioni di Lorentz.

Definizione

Il quadripotenziale elettromagnetico è definito come:[2]

A α = ( ϕ c , A ) {\displaystyle A^{\alpha }=\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {A} \right)}

in cui ϕ {\displaystyle \phi } è il potenziale elettrico ed A {\displaystyle \mathbf {A} } il potenziale magnetico.

L'unità di misura di A α {\displaystyle A^{\alpha }} è volt·secondo/metro nel SI, e Maxwell/centimetro nel sistema di Gauss. Il campo elettrico ed il campo magnetico associati al quadripotenziale sono:

E = − ∇ ϕ − ∂ A ∂ t {\displaystyle \mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}
B = ∇ × A {\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} }

Al fine di soddisfare le condizioni imposte dalla relatività speciale i campi devono essere scritti in forma tensoriale, in modo che nelle trasformazioni di coordinate tra due riferimenti inerziali rispettino le trasformazioni di Lorentz.

Il tensore elettromagnetico è definito a partire dal quadripotenziale nel seguente modo:[3]

F μ ν = ∂ μ A ν − ∂ ν A μ {\displaystyle F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }}

Si tratta di un tensore antisimmetrico la cui traccia è nulla.

Gauge di Lorenz

Lo stesso argomento in dettaglio: Gauge di Lorenz.

Nel gauge di Lorenz ∂ α A α = 0 {\displaystyle \partial _{\alpha }A^{\alpha }=0} in un sistema di riferimento inerziale, l'equazione delle onde per i campi è data da:

◻ A α = μ 0 J α ( ◻ A α = 4 π c J α ) {\displaystyle \Box A^{\alpha }=\mu _{0}J^{\alpha }\qquad \left(\Box A^{\alpha }={\frac {4\pi }{c}}J^{\alpha }\right)}

dove J α {\displaystyle J^{\alpha }} sono le componenti della quadricorrente, e:

◻ = 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 − ∇ 2 {\displaystyle \Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}}

è l'operatore di d'Alembert.[2] Esplicitamente:

◻ ϕ = ρ ε 0 ( ◻ ϕ = 4 π ρ ) {\displaystyle \Box \phi ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\qquad \left(\Box \phi =4\pi \rho \right)}
◻ A = μ 0 j ( ◻ A = 4 π c j ) {\displaystyle \Box \mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {j} \qquad \left(\Box \mathbf {A} ={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} \right)}

Le equazioni di Maxwell espresse in termini dei potenziali scalare e vettore assumono di conseguenza la forma:

∇ 2 φ + ∂ ∂ t ( ∇ ⋅ A ) = − ρ ε 0 {\displaystyle \nabla ^{2}\varphi +{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} \right)=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}
( ∇ 2 A − 1 c 2 ∂ 2 A ∂ t 2 ) − ∇ ( ∇ ⋅ A + 1 c 2 ∂ φ ∂ t ) = − μ 0 J {\displaystyle \left(\nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}\right)-\mathbf {\nabla } \left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\right)=-\mu _{0}\mathbf {J} }

Per una data distribuzione di carica ρ ( x , t ) {\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)} e corrente j ( x , t ) {\displaystyle \mathbf {j} (\mathbf {x} ,t)} le soluzioni nel SI delle precedenti equazioni sono i potenziali ritardati:

ϕ ( x , t ) = 1 4 π ε 0 ∫ d 3 x ′ ρ ( x ′ , τ ) | x − x ′ | {\displaystyle \phi (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int \mathrm {d} ^{3}x^{\prime }{\frac {\rho (\mathbf {x} ^{\prime },\tau )}{\left|\mathbf {x} -\mathbf {x} ^{\prime }\right|}}}
A ( x , t ) = μ 0 4 π ∫ d 3 x ′ j ( x ′ , τ ) | x − x ′ | {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int \mathrm {d} ^{3}x^{\prime }{\frac {\mathbf {j} (\mathbf {x} ^{\prime },\tau )}{\left|\mathbf {x} -\mathbf {x} ^{\prime }\right|}}}

dove:

τ = t − | x − x ′ | c {\displaystyle \tau =t-{\frac {\left|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right|}{c}}}

è il tempo ritardato.

Note

  1. ^ The Theory of Relativity, by R. K. Pathria, p128
  2. ^ a b Jackson, Pag. 555.
  3. ^ Jackson, Pag. 556.

Bibliografia

  • (EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X.
  • (EN) Rindler, Wolfgang, Introduction to Special Relativity (2nd), Oxford, Oxford University Press, 1991, ISBN 0-19-853952-5.

Voci correlate

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