Gauge di Lorenz

Nell'ambito della teoria di gauge, il gauge di Lorenz è la scelta dei potenziali del campo elettromagnetico tali da soddisfare la condizione (detta condizione di Lorenz)[1]:

∇ ⋅ A + 1 c 2 ∂ φ ∂ t = 0 {\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {A} }+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0}

dove A {\displaystyle \mathbf {A} } è il potenziale magnetico e φ {\displaystyle \varphi } il potenziale elettrico.

Tale condizione ha la proprietà di essere Lorentz invariante e di rispettare i gradi di libertà forniti dalle trasformazioni di gauge: se i potenziali soddisfano la condizione di Lorenz si dice che essi appartengono al gauge di Lorenz.[2][1] La condizione di Lorenz è una proprietà imposta al potenziale elettromagnetico utilizzata nel calcolo di campi elettromagnetici variabili nel tempo attraverso i potenziali ritardati.[3]

Tale scelta appare particolarmente conveniente in elettrodinamica nella soluzione delle equazioni di Maxwell, ed in particolare nel calcolo dei potenziali ritardati e nello studio della propagazione delle onde elettromagnetiche. Tale condizione nella scelta della gauge si estende anche ad altri campi vettoriali, come il campo di Yang-Mills.

Questa scelta di gauge prende il nome dal fisico Ludvig Lorenz, da non confondere con il più noto Hendrik Lorentz.

Descrizione

La condizione di Lorenz:

∇ ⋅ A + 1 c 2 ∂ φ ∂ t = 0 {\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {A} }+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0}

può essere scritta in notazione tensoriale:

∂ μ A μ ≡ ∂ μ A μ = 0 {\displaystyle \partial _{\mu }A^{\mu }\equiv \partial ^{\mu }A_{\mu }=0}

dove A μ {\displaystyle A^{\mu }} è il potenziale elettromagnetico.

Si può dimostrare che nell'ambito di questo gauge le equazioni del potenziale elettromagnetico possono essere espresse in forma simmetrica:[4][5]

◻ A = [ 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 − ∇ 2 ] A = μ 0 J {\displaystyle \Box \mathbf {A} =\left[{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\right]\mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {J} }
◻ φ = [ 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 − ∇ 2 ] φ = 1 ε 0 ρ {\displaystyle \Box \varphi =\left[{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\right]\varphi ={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\rho }

dove c = 1 ε 0 μ 0 {\displaystyle c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}} è la velocità della luce nel vuoto e ◻ {\displaystyle \Box } l'operatore d'Alembertiano. Tali relazioni valgono tuttavia anche in mezzi polarizzati se ρ {\displaystyle \rho } e J {\displaystyle \mathbf {J} } sono le densità sorgenti dei campi E {\displaystyle \mathbf {E} } e B {\displaystyle \mathbf {B} } calcolate a partire dai potenziali φ   {\displaystyle \varphi \ } ed A {\displaystyle \mathbf {A} } attraverso le definizioni di campo elettrico e campo magnetico a partire dai loro potenziali:[6]

E = − ∇ φ − ∂ A ∂ t B = ∇ × A {\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\qquad \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }

Le soluzioni esplicite per i potenziali sono uniche se è posto che si annullino all'infinito sufficientemente rapidamente, e sono le equazioni di ritardo:[7]

φ ( r , t ) = 1 4 π ε 0 ∫ ρ ( r ′ , t r ) | r − r ′ | d τ ′ {\displaystyle {\mathit {\mathrm {\varphi } }}(\mathbf {r} ,{\mathit {t}})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r} ',{\mathit {t}}_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d\tau '}
A ( r , t ) = μ 0 4 π ∫ J ( r ′ , t r ) | r − r ′ | d τ ′ {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,{\mathit {t}})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',{\mathit {t}}_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d\tau '}

Note

  1. ^ a b Jackson, Pag. 241.
  2. ^ L. Lorenz, "On the Identity of the Vibrations of Light with Electrical Currents." Philos. Mag. 34, 287-301, 1867.
  3. ^ Kirk T. McDonald, The relation between expressions for time-dependent electromagnetic fields given by Jefimenko and by Panofsky and Phillips, in American Journal of Physics, vol. 65, n. 11, 1997, pp. 1074–1076, Bibcode:1997AmJPh..65.1074M, DOI:10.1119/1.18723. e pdf link (PDF), su hep.princeton.edu. URL consultato il 1º giugno 2010 (archiviato dall'url originale il 20 luglio 2011)..
  4. ^ Jackson, Pag. 240.
  5. ^ Mencuccini, Silvestrini, Pag. 505.
  6. ^ Si veda, ad esempio, U. Krey, A. Owen, Basic Theoretical Physics - A Concise Overview, Berlin-Heidelberg-New York, Springer 2007.
  7. ^ Mencuccini, Silvestrini, Pag. 506.

Bibliografia

  • Corrado Mencuccini, Vittorio Silvestrini, Fisica II, Napoli, Liguori Editore, 2010, ISBN 978-88-207-1633-2.
  • (EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3ª ed., Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X.
  • (EN) L. Lorenz, On the Identity of the Vibrations of Light with Electrical Currents Philos. Mag. 34, 287–301, 1867.
  • (EN) J. van Bladel, Lorenz or Lorentz?. IEEE Antennas Prop. Mag. 33, 2, p. 69, April 1991.
  • (EN) R. Becker, Electromagnetic Fields and Interactions, chap. DIII. Dover Publications, New York, 1982.
  • (EN) A. O'Rahilly, Electromagnetics, chap. VI. Longmans, Green and Co, New York, 1938.
  • (EN) R. Nevels, C.-S. Shin, Lorenz, Lorentz, and the gauge, IEEE Antennas Prop. Mag. 43, 3, pp. 70–1, 2001.
  • (EN) E. T. Whittaker, A History of the Theories of Aether and Electricity, Vols. 1–2. New York: Dover, p. 268, 1989.

Voci correlate

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