Potenziali ritardati

In elettrodinamica, i potenziali ritardati descrivono i potenziali generalizzati del campo elettromagnetico in un sistema la cui distribuzione di carica e corrente sorgente del campo sia variabile nel tempo. Si tratta delle espressioni del potenziale elettrico e magnetico introdotte nel caso in cui non sia possibile utilizzare l'approssimazione secondo cui la propagazione dell'interazione elettromagnetica sia istantanea, ad esempio quando si considerano cariche che si muovono a velocità non trascurabili se confrontate con la velocità di propagazione della luce.

Definizione

Ponendo di trovarsi nel vuoto, nel gauge di Lorenz i potenziali ritardati assumono la forma:^[1]

${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {x} _{0},t_{r})}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}}d^{3}x_{0}}$

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}}}\int {\frac {\mathbf {J} (\mathbf {x} _{0},t_{r})}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}}d^{3}x_{0}}$

dove ${\displaystyle \rho }$ è la densità di carica, ${\displaystyle \mathbf {J} }$ è la densità di corrente, ${\displaystyle |\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}$ la distanza del punto di osservazione del campo dall'elemento di volume ${\displaystyle dV}$ su cui si effettua l'integrazione e:

${\displaystyle t_{r}=t-{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}{c}}}$

è il tempo ritardato.

I potenziali ritardati sono la soluzione dell'equazione delle onde per i potenziali:

${\displaystyle \quad \nabla ^{2}\psi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$

${\displaystyle \quad \nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\mathbf {J} }$

Una volta determinati i potenziali ${\displaystyle \psi }$ e ${\displaystyle \mathbf {A} }$ dalla distribuzione delle cariche e delle correnti nello spazio, è possibile esprimere il campo elettrico ed il campo magnetico attraverso le formule:

${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \psi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\qquad \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }$

e questo consente di scrivere l'equazione delle onde per i campi nel vuoto:

${\displaystyle \quad \nabla ^{2}\mathbf {E} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}=-{\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\left(-\nabla \rho -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {J} }{\partial t}}\right)}$

${\displaystyle \quad \nabla ^{2}\mathbf {B} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\nabla \times \mathbf {J} }$

la cui soluzione al tempo ritardato fornisce l'espressione preliminare per i campi:^[2]

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}}\left[-\nabla '\rho -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {J} }{\partial t}}\right]_{t=t_{r}}d^{3}x'}$

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}}\left[\nabla '\times \mathbf {J} \right]_{t=t_{r}}d^{3}x'}$

La scrittura esplicita dei campi è fornita dalle equazioni di Jefimenko.

Derivazione

Si vogliono trovare le soluzioni generali dell'equazione delle onde per i potenziali mostrata in precedenza, considerando l'equazione per una sorgente puntiforme posta in ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$:^[3]

${\displaystyle \nabla ^{2}\phi (\mathbf {x} ,t)-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\phi (\mathbf {x} ,t)=-S(\mathbf {x} _{0},t)\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})}$

Grazie alla definizione della delta di Dirac ${\displaystyle \delta }$ è dunque possibile descrivere la presenza di una sorgente puntiforme: nel resto dello spazio non vi sono sorgenti, e l'equazione d'onda è non omogenea solo per ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {x} _{0}}$. Scrivendo il laplaciano in coordinate sferiche l'equazione omogenea diventa:

${\displaystyle {1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial \phi \over \partial r}\right)-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\phi \over \partial t^{2}}=0}$

e se si effettua la sostituzione:

${\displaystyle \phi (r,t)={\frac {\chi (r,t)}{r}}}$

si ha:

${\displaystyle {\partial ^{2}\chi \over \partial r^{2}}-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\chi \over \partial t^{2}}=0}$

la cui soluzione è quella dell'equazione delle onde omogenea:^[4]

${\displaystyle \chi (r,t)=f\left(t-{r \over c}\right)+g\left(t+{r \over c}\right)}$

da cui

${\displaystyle \phi (r,t)={\frac {f(t-{\frac {r}{c}})}{r}}+{\frac {g(t+{\frac {r}{c}})}{r}}}$

dove ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ sono due funzioni da dover determinare. Imponendo che le onde siano uscenti dalla sorgente si deve escludere il termine

${\displaystyle g\left(t+{\frac {r}{c}}\right)\quad .}$

Questa condizione è dettata dal principio di causalità, e dal fatto che non ha senso parlare di onde che dall'infinito arrivano verso la sorgente. Si ha quindi:^[5]

${\displaystyle \phi (r,t)={\frac {f(t-{\frac {r}{c}})}{r}}}$

da cui:

${\displaystyle \nabla \phi =-{\frac {f(t-{\frac {r}{c}})}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}-{\frac {1}{c}}{\frac {f'(t-{\frac {r}{c}})}{r}}{\hat {\mathbf {r} }}}$

dove ${\displaystyle f'}$ è la derivata di ${\displaystyle f}$ rispetto al suo argomento. Integrando ora l'equazione d'onda su un volume sferico di raggio ${\displaystyle R}$ centrato in ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$ e sostituendo le espressioni trovate sopra per ${\displaystyle \phi }$ e ${\displaystyle \nabla \phi }$ si ha:

${\displaystyle \int \nabla \cdot \left[-{\frac {f}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}-{\frac {1}{c}}{\frac {f'}{r}}{\hat {\mathbf {r} }}\right]d^{3}x-{\frac {1}{c^{2}}}\int {\frac {f''}{r}}d^{3}x=-\int S(\mathbf {x} _{0},t)\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})d^{3}x}$

e considerando il limite per ${\displaystyle R\to 0}$ il secondo integrale si annulla poiché è minore del massimo dell'integranda sul dominio d'integrazione, moltiplicato la misura del dominio d'integrazione. Sfruttando il teorema della divergenza si calcola quindi il valore del primo integrale:

${\displaystyle \int _{V}\nabla \cdot \left[-{\frac {f}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}-{\frac {1}{c}}{\frac {f'}{r}}{\hat {\mathbf {r} }}\right]d^{3}x=\int _{S}\left[-{\frac {f}{r^{2}}}-{\frac {1}{c}}{\frac {f'}{r}}\right]{\hat {\mathbf {r} }}\cdot d\mathbf {S} '=4\pi R^{2}\left[-{\frac {f}{R^{2}}}-{\frac {1}{c}}{\frac {f'}{R}}\right]}$

dove ${\displaystyle V}$ è il volume della sfera di raggio ${\displaystyle R}$ ed ${\displaystyle S}$ la superficie della sfera stessa. Effettuando il limite per ${\displaystyle R\to 0}$ si nota che il secondo termine in parentesi si annulla. Considerando quindi l'equazione d'onda integrata, si ottiene la relazione:

${\displaystyle -4\pi f(t)=-S(\mathbf {x} _{0},t)}$

da cui:^[5]

${\displaystyle f(t)={\frac {S(\mathbf {x} _{0},t)}{4\pi }}}$

e sfruttando la relazione:

${\displaystyle \phi (r,t)={\frac {f(t-{\frac {r}{c}})}{r}}}$

si ottiene infine la soluzione generale dell'equazione d'onda di partenza, valida per sorgenti puntiformi:

${\displaystyle \phi (r,t)={\frac {S(\mathbf {x} _{0},t-{\frac {r}{c}})}{4\pi r}}}$

Per considerare il caso generale di sorgente non puntiforme, è sufficiente integrare su ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$ la soluzione di cui sopra, ottenendo la soluzione valida per qualunque sorgente:

${\displaystyle \phi (\mathbf {x} ,t)_{g}=\int {\frac {S(\mathbf {x} _{0},t-{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}{c}})}{4\pi |\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}}d^{3}x_{0}}$

Risulta allora sufficiente sostituire rispettivamente a ${\displaystyle \phi _{g}}$ e a ${\displaystyle S}$ i potenziali vettore e scalare e le rispettive sorgenti per ottenere le soluzioni generali delle equazioni d'onde per i potenziali:^[1]

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}}}\int {\frac {\mathbf {J} (\mathbf {x} _{0},t-{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}{c}})}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}}d^{3}x_{0}}$

${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {x} _{0},t-{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}{c}})}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}}d^{3}x_{0}}$

ovvero le espressioni cercate.

L'equazione delle onde ed il gauge di Lorenz

Sostituendo la definizione del potenziale vettore ${\displaystyle \mathbf {A} }$ nella seconda equazione di Maxwell si ottiene:

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times \mathbf {A} )}$

da cui:

${\displaystyle \nabla \times (\mathbf {E} +{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {A} )=0}$

Poiché la quantità tra parentesi ha rotore nullo, può essere espressa come gradiente di un campo scalare, ed in particolare del potenziale scalare ${\displaystyle \psi }$:^[6]

${\displaystyle \nabla \psi =-(\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}})}$

ovvero:

${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \psi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$

Usando ora la relazione:

${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {F} )=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {F} )-\nabla ^{2}\mathbf {F} }$

dove con ${\displaystyle \mathbf {F} }$ si è indicata una generica grandezza vettoriale, e sostituendo nelle due equazioni di Maxwell:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}={\frac {\mathbf {J} }{\varepsilon _{0}c^{2}}}}$

si ottengono le seguenti relazioni:

${\displaystyle \nabla ^{2}\psi +{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \cdot \mathbf {A} =-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} -\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \psi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-{\frac {\mathbf {J} }{\varepsilon _{0}c^{2}}}}$

dette equazioni elettrodinamiche non disaccoppiate.^[7]

Per semplificare queste equazioni è conveniente ricorrere ad una particolare trasformazione di gauge. Ricordando che il potenziale vettore ${\displaystyle \mathbf {A} }$ è definito a meno di un gradiente, è possibile aggiungere il gradiente di una quantità scalare ${\displaystyle \phi }$ facendo rimanere invariato il campo magnetico:

${\displaystyle \mathbf {A} '=\mathbf {A} +\nabla \phi }$

ed affinché anche il campo elettrico rimanga invariato deve inoltre valere:

${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \psi '-{\frac {\partial \mathbf {A} '}{\partial t}}=-\nabla \psi '-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}-{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \phi =-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}-(\nabla \psi '+{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \phi )}$

da cui, sfruttando la relazione esistente tra ${\displaystyle \mathbf {E} }$, ${\displaystyle \psi }$ e ${\displaystyle \mathbf {A} }$ si ottiene:

${\displaystyle \nabla \psi =\nabla \psi '+{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \phi }$

che si traduce in:

${\displaystyle \psi '=\psi -{\frac {\partial \phi }{\partial t}}}$

Sfruttando l'invarianza di gauge è possibile scegliere ${\displaystyle \mathbf {A} }$ in modo che soddisfi determinate condizioni. In elettrodinamica è frequente la scelta della condizione di Lorenz, la quale è ottenuta scegliendo opportunamente ${\displaystyle \phi }$ in modo tale che:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} =-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}}$

Tale condizione determina la forma covariante delle equazioni di Maxwell per i potenziali che descrivono il campo. Se i potenziali soddisfano la condizione di Lorenz si dice che essi appartengono al gauge di Lorenz.^[8]
Sostituendo nelle due equazioni per i potenziali ricavate in precedenza si ottengono le equazioni di Maxwell per i potenziali:^[9][10]

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-{\frac {\mathbf {J} }{\varepsilon _{0}c^{2}}}}$

${\displaystyle \nabla ^{2}\psi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$

nelle quali si riconosce la forma delle equazioni d'onda.

Potenziali di Liénard-Wiechert

La soluzione al tempo ritardato dell'equazione delle onde non omogenea per i potenziali del campo elettromagnetico è la seguente:

${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)=\int {\frac {\delta \left(t'+{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}-t\right)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\rho (\mathbf {r} ',t')d^{3}r'dt'\qquad \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)=\int {\frac {\delta \left(t'+{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}-t\right)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t')d^{3}r'dt'}$

dove ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,t)}$ e ${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {r} ,t)}$ sono i termini sorgente, e:

${\displaystyle \delta \left(t'+{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}-t\right)}$

è la delta di Dirac. Per una carica che si muove in ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}(t')}$ con velocità ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}(t')}$, le densità di carica e corrente assumono la forma:

${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ',t')=q\delta {\big (}\mathbf {r} '-\mathbf {r} _{0}(t'){\big )}\qquad \mathbf {J} (\mathbf {r} ',t')=q\mathbf {v} _{0}(t')\delta {\big (}\mathbf {r} '-\mathbf {r} _{0}(t'){\big )}}$

Se si integra sul volume ${\displaystyle d^{3}r'}$, utilizzando la relazione precedente si ottiene:

${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)=q\int {\frac {\delta \left(t'+{\frac {|\mathbf {r} '-\mathbf {r} _{0}(t')|}{c}}-t\right)}{|\mathbf {r} '-\mathbf {r} _{0}(t')|}}dt'\qquad \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)=q\int {\frac {\delta \left(t'+{\frac {|\mathbf {r} '-\mathbf {r} _{0}(t')|}{c}}-t\right)}{|\mathbf {r} '-\mathbf {r} _{0}(t')|}}\mathbf {v} _{0}(t')dt'}$

ed integrando in ${\displaystyle t'}$ si trovano i potenziali di Liénard-Wiechert:^[11]

${\displaystyle \varphi (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {e}{(1-\mathbf {n} \cdot \mathbf {\beta } )|\mathbf {x} -\mathbf {r} _{0}(\tau )|}}\right)_{\tau =\tau _{0}}\qquad \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}c}{4\pi }}\left({\frac {e\mathbf {\beta } }{(1-\mathbf {n} \cdot \mathbf {\beta } )|\mathbf {x} -\mathbf {r} _{0}(\tau )|}}\right)_{\tau =\tau _{0}}={\frac {\mathbf {\beta } (\tau =\tau _{0})}{c}}\varphi (\mathbf {x} ,t)}$

con:

${\displaystyle \mathbf {\beta } (t)={\frac {\mathbf {v} _{0}(t)}{c}}}$

e ${\displaystyle \tau }$ il tempo proprio. Si tratta di una forma equivalente, ma non covariante, del potenziale elettrico ${\displaystyle \varphi }$ e del potenziale magnetico ${\displaystyle \mathbf {A} }$ generati da una sorgente puntiforme di carica in moto.^[12] I potenziali forniscono una caratterizzazione generale e relativistica del campo variabile nel tempo generato da una carica in moto, e la loro espressione è stata sviluppata in parte da Alfred-Marie Liénard nel 1898, e successivamente nel 1900 da Emil Wiechert^[13] in un modo indipendente da quello di Liénard.

Note

Bibliografia

• Corrado Mencuccini, Vittorio Silvestrini, Fisica II, Napoli, Liguori Editore, 2010, ISBN 978-88-207-1633-2.
• Lev D. Landau, Evgenij M. Lifshits, Fisica teorica 2 - Teoria dei campi, Roma, Editori Riuniti Edizioni Mir, 1976, ISBN 88-359-5358-8.
• (EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X.

Voci correlate

• Campo elettromagnetico
• Densità di carica
• Densità di corrente
• Equazione delle onde
• Equazioni di Jefimenko
• Equazioni di Maxwell
• Gauge di Lorenz
• Interazione elettromagnetica
• Potenziale elettrico
• Potenziale magnetico
• Potenziale di Liénard-Wiechert
• Quadripotenziale