Lagrangiana di Proca

La lagrangiana di Proca descrive il campo delle particelle con massa non nulla e spin unitario (i bosoni vettori e i bosoni vettori assiali). Prende il nome dal fisico romeno Alexandru Proca.

Definizione

In teoria dei campi, a ogni particella elementare di definita massa e definito spin viene associato un campo e viceversa. Risulta pertanto che a ogni bosone, di massa m {\displaystyle m} e spin 1 (bosoni vettore oppure bosoni vettori assiali), corrisponde un campo Ω α ( x ) {\displaystyle \Omega _{\alpha }(x)} (o analogamente Ω α ( x ) = g α β Ω β ( x ) {\displaystyle \Omega ^{\alpha }(x)=g^{\alpha \beta }\Omega _{\beta }(x)} ), dove g {\displaystyle g} è il tensore metrico con componenti covarianti g α β {\displaystyle g_{\alpha \beta }} e con componenti controvarianti g α β {\displaystyle g^{\alpha \beta }} , date da:

g α β = g α β = ( 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 − 1 ) {\displaystyle g_{\alpha \beta }=g^{\alpha \beta }=\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{array}}\right)}

L'equazione di campo per Ω α ( x ) {\displaystyle \Omega ^{\alpha }(x)} può essere dedotta da quella del campo elettromagnetico con la sostituzione (in unità naturali):

∂ μ ∂ μ → ∂ μ ∂ μ + m 2 {\displaystyle \partial ^{\mu }\partial _{\mu }\rightarrow \partial ^{\mu }\partial _{\mu }+m^{2}}

ossia:

( ∂ μ ∂ μ + m Ω 2 ) Ω α − ∂ α ( ∂ β Ω β ) = 0 {\displaystyle (\partial ^{\mu }\partial _{\mu }+m_{\Omega }^{2})\Omega ^{\alpha }-\partial ^{\alpha }(\partial _{\beta }\Omega ^{\beta })=0}

che è l'equazione di Proca. La corrispondente densità di Lagrangiana è:

L Ω = − 1 4 F α β Ω † F Ω , α β + 1 2 m 2 Ω α † Ω α {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\Omega }=-{\frac {1}{4}}F_{\alpha \beta }^{\Omega \dagger }F^{\Omega ,\alpha \beta }+{\frac {1}{2}}m^{2}\Omega _{\alpha }^{\dagger }\Omega ^{\alpha }}

con:

F α β Ω ≡ ∂ α Ω β − ∂ β Ω α {\displaystyle F_{\alpha \beta }^{\Omega }\equiv \partial _{\alpha }\Omega _{\beta }-\partial _{\beta }\Omega _{\alpha }}

Si nota che a causa della presenza del termine di massa:

m 2 Ω α † Ω α {\displaystyle m^{2}\Omega _{\alpha }^{\dagger }\Omega ^{\alpha }}

la Lagrangiana non è invariante per le trasformazioni di gauge:

Ω α ( x ) → Ω α ′ ( x ) = Ω α ( x ) + ∂ α χ ( x ) {\displaystyle \Omega _{\alpha }(x)\rightarrow \Omega '_{\alpha }(x)=\Omega _{\alpha }(x)+\partial _{\alpha }\chi (x)}

Prendendo la divergenza dell'equazione di Proca, si ottiene:

m 2 ∂ β Ω β = 0 {\displaystyle m^{2}\partial _{\beta }\Omega ^{\beta }=0}

Quindi, se m ≠ 0 {\displaystyle m\neq 0} , si deve imporre che:

∂ β Ω β = 0 {\displaystyle \partial _{\beta }\Omega ^{\beta }=0}

e l'equazione di Proca diventa:

( ∂ μ ∂ μ + m 2 ) Ω α = 0 {\displaystyle (\partial ^{\mu }\partial _{\mu }+m^{2})\Omega ^{\alpha }=0}

Queste sono quattro equazioni disaccoppiate, e ognuna di esse è una equazione di Klein-Gordon, a cui devono soddisfare le quattro componenti del campo vettoriale Ω α {\displaystyle \Omega ^{\alpha }} , con il vincolo aggiuntivo:

∂ α Ω α ( x ) = 0 {\displaystyle \partial _{\alpha }\Omega ^{\alpha }(x)=0}

Quindi, per le particelle vettoriali massive questo vincolo riduce il numero di componenti indipendenti da quattro a tre.

Bibliografia

  • Hermann Weyl (1952), Symmetry, Princeton University Press, 1952. ISBN 0691023743
  • Pierre Curie (1894), Sur la symétrie dans les phénomenes physiques, symétrie d'un champ eléctrique et d'un champ magnétique, Journal de Physique 3me serie 3, 393-415.
  • Ernst Haeckel (1898-1904), Kunstformen der Natur, Lipsia, Verlag des Bibliographischen Institut, ristampa Prestel Verlag, Monaco, 1998. Si trova anche in linea su questo sito
  • István Hargittai e Magdolna Hargittai (1995), Symmetry Through the Eyes of a Chemist, 2ª edizione, New York, Kluwer.
  • István Hargittai e Magdolna Hargittai (2000), In Our Own Image, New York, Kluwer.
  • Jenann, Ismael (2001), Essays on Symmetry, New York, Garland.
  • Alan Holden (1971), Shapes, Space and Symmetry, New York, Columbia University Press, ristampa New York, Dover, 1991.
  • Joe Rosen (1975), Symmetry Discovered, Londra, Cambridge University Press. Ristampa New York, Dover, 2000.
  • Joe Rosen (1983), A Symmetry Primer for Scientists, New York, John Wiley & Sons.
  • Alexei Vasil'evich Shubnikov e Vladimir Alexandrovich Koptsik (1974), Symmetry in Science and Art, New York, Plenum Press.

Voci correlate

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