Tam diferansiyel denklem

Tam diferansiyel denklem veya Sağın diferansiyel denklem^[1] fizikte ve mühendislikte sıklıkla kullanılan bir tür adi diferansiyel denklemdir.

Tanım

R²'nin içinde tanımlı basit bağlantılı ve açık bir uzay D için ve D üzerinde sürekli olan iki I ve J fonksiyonu için birinci dereceden adi diferansiyel implisit form:

${\displaystyle I(x,y)\,\mathrm {d} x+J(x,y)\,\mathrm {d} y=0,\,\!}$

ile belirtilen denklemler tam diferansiyel denklem adını alır eğer

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}=I}$

ve

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial y}}=J.}$

şeklinde belirtilen sürekli türevlenebilir F fonksiyonu (potansiyel fonksiyon) tanımlanmışsa.

"Tam diferansiyel denklem" terimi tam türevi alınmış bir fonksiyona işaret eder. ${\displaystyle F(x_{0},x_{1},...,x_{n-1},x_{n})}$ fonksiyonu için ${\displaystyle x_{0}}$'e göre tam ya da sağın türev:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} x_{0}}}={\frac {\partial F}{\partial x_{0}}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}{\frac {\mathrm {d} x_{i}}{\mathrm {d} x_{0}}}.}$

şeklindedir.

Örnek

${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ şeklinde tanımlanmış

${\displaystyle F(x,y)={\frac {1}{2}}(x^{2}+y^{2})}$

F fonksiyonu

${\displaystyle x\,\mathrm {d} x+y\,\mathrm {d} y=0.\,}$

diferansiyel denklemi için potansiyel fonksiyondur.

Notlar

Kaynakça

• Boyce, William E.; DiPrima, Richard C. (1986). Elementary Differential Equations (4th ed.). New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-07894-8