Espaço dual

Em matemática, qualquer espaço vetorial ${\displaystyle V}$ sobre um corpo ${\displaystyle \mathbb {K} }$ pode ser associado a um espaço dual, denotado ${\displaystyle V'}$, consistindo dos funcionais lineares ${\displaystyle f:V\to \mathbb {K} \,}$. Quando ${\displaystyle V}$ é um espaço vetorial topológico, considera-se também o espaço ${\displaystyle V^{*}}$dos funcionais lineares contínuos, chamado espaço dual topológico. Nesse caso, geralmente o espaço dual ${\displaystyle V'}$ é chamado de espaço dual algébrico .

A existência de um espaço vetorial 'dual' reflete de uma maneira abstrata a relação entre os vetores linha (1×n) e os vetores coluna (n×1) de uma matriz. A construção pode se dar também para os espaços infinito-dimensionais e dá lugar a modos importantes de ver as medidas, as distribuições e o espaço de Hilbert. O uso do espaço dual é, assim, de uma certa maneira, recurso da análise funcional. É também inerente à transformação de Fourier.

Espaço dual algébrico

O espaço dual é um espaço vetorial

O espaço dual de um espaço vetorial ${\displaystyle V\,}$ sobre um corpo ${\displaystyle \mathbb {K} }$ é costumeiramente denotado ${\displaystyle V'\,}$ ou ${\displaystyle V^{*}\,}$ e também é um espaço vetorial sobre o mesmo corpo uma vez definida as operações de soma e multiplicação por escalar como:

${\displaystyle (\phi +\psi )(x)=\phi (x)+\psi (x)\,}$

${\displaystyle (\lambda \phi )(x)=\lambda \phi (x)\,}$

Para todo ${\displaystyle \phi ,\psi }$ em ${\displaystyle V^{*}}$, ${\displaystyle \lambda }$ em ${\displaystyle \mathbb {K} }$ e ${\displaystyle x}$ em ${\displaystyle V}$.

Caso de dimensão finita

Se ${\displaystyle V\,}$ é um espaço vetorial de dimensão finita, então ${\displaystyle V^{*}\,}$ tem a mesma dimensão de ${\displaystyle V\,}$. Seja ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{e_{1}\,,...\,,e_{n}\}}$ uma base de ${\displaystyle V}$, então a base dual é dada pelo conjunto ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{*}=\{f_{1}\,,...\,,f_{n}\}}$ onde:^[1]

${\displaystyle \mathbf {f} _{i}(\mathbf {e} _{j})=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{se }}i=j\\0,&{\mbox{se }}i\neq j\end{matrix}}\right.}$

Exemplos

Se a dimensão de ${\displaystyle V\,}$ é finita, então ${\displaystyle V^{*}\,}$ tem a mesma dimensão que ${\displaystyle V\,}$; se ${\displaystyle \{e_{1}\,,...\,,e_{n}\}}$ é uma base para V, então a base dual associada ${\displaystyle \{e^{1}\,,...\,,e^{n}\}}$ de ${\displaystyle V^{*}\,}$ é dada por:

${\displaystyle e^{i}(e_{j})=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{se }}i=j\\0,&{\mbox{se }}i\neq j\end{matrix}}\right.}$

Específicamente, se é interpretado ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ como espaço de colunas de ${\displaystyle n}$ números reais, seu espaço dual é escrito tipicamente como o espaço de linhas de ${\displaystyle n}$ números. Tal linha atua em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ como funcional linear pela multiplicação ordinária de matrizes.

Duplo dual algébrico

Dado um espaço vetorial ${\displaystyle V}$, sempre podemos considerar seu duplo dual ${\displaystyle V''{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}(V')'}$, que consiste em todos os funcionais lineares ${\displaystyle f:V'\to \mathbb {K} }$. Existe um homomorfismo canônico entre ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle V''}$, ou seja, existe uma transformação ${\displaystyle V\to V''}$, definida por

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}J:V&\to V''&&&&\\v&\mapsto f_{v}:V'&&\to \mathbb {K} &&\\&\qquad \qquad \phi &&\mapsto \phi (v)&&\\\end{alignedat}}}$

que é linear. Além disso, ${\displaystyle J}$ é sempre injetora e é um isomorfismo entre os espaços vetoriais ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle \mathrm {Ran} \,J}$. Note, porém, que em geral ${\displaystyle \mathrm {Ran} \,J\neq V''}$; de outro modo, pode ser que existam ${\displaystyle f\in V''}$ tais que ${\displaystyle f\neq f_{v}}$ para todo ${\displaystyle v\in V}$.

Espaço dual topológico

Quando se tem, além da estrutura de espaço vetorial, uma topologia compatível com as operações de soma e multiplicação por escalar (espaço vetorial topológico), os funcionais lineares mais interessantes passam a ser os contínuos. O conjunto dos funcionais lineares contínuos, chamado de espaço dual topológico (ou simplesmente espaço dual) e denotado ${\displaystyle V^{*}}$, é um subespaço do espaço dual algébrico ${\displaystyle V'}$.

Dados ${\displaystyle \varphi \in V^{\ast }}$ e ${\displaystyle v\in V}$, algumas vezes usamos a notação ${\displaystyle \langle \varphi ,v\rangle _{V^{\ast },V}}$ ou simplesmente ${\displaystyle \langle \varphi ,v\rangle }$ ao invés de ${\displaystyle \varphi (x)}$. A notação ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{V^{\ast },V}}$ é conhecida como par dualidade entre ${\displaystyle V^{\ast }}$ e ${\displaystyle V}$.

O espaço dual de um espaço de Hilbert é isomórfico ao próprio espaço

Seja ${\displaystyle H\,}$ um espaço de Hilbert. O teorema da representação de Riesz afirma que ${\displaystyle \phi \,}$ é um funcional linear contínuo se, e somente se, existe um ${\displaystyle z\in H\,}$ tal que

${\displaystyle \phi (x)=\langle z,x\rangle ,~~\forall x\in H\,}$.

Duplo dual topológico

Dado um espaço vetorial normado ${\displaystyle X}$, sempre podemos considerar seu duplo dual ${\displaystyle X^{**}{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}(X^{*})^{*}}$, que consiste em todos os funcionais lineares contínuos ${\displaystyle f:X'\to \mathbb {K} }$. Existe um homomorfismo canônico entre ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle X^{**}}$, ou seja, existe uma transformação ${\displaystyle X\to X^{**}}$, definida por

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}J:X&\to X^{**}&&&&\\x&\mapsto f_{x}:X^{*}&&\to \mathbb {K} &&\\&\qquad \qquad \phi &&\mapsto \phi (x)&&\\\end{alignedat}}}$

que é linear. Além disso, ${\displaystyle J}$ é sempre injetora, limitada e isométrica (${\displaystyle \lVert Jx\rVert =\lVert x\rVert }$), este último fato sendo uma consequência do teorema de Hahn-Banach. Por isso, ${\displaystyle J}$ é um isomorfismo entre os espaços normados ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle \mathrm {Ran} \,J}$. Note, porém, que em geral ${\displaystyle \mathrm {Ran} \,J\neq X^{**}}$; de outro modo, pode ser que existam ${\displaystyle f\in X^{**}}$ tais que ${\displaystyle f\neq f_{x}}$ para todo ${\displaystyle x\in X}$.

Caso valha, de fato, que ${\displaystyle \mathrm {Ran} \,J=X^{**}}$, o espaço ${\displaystyle X}$ é dito ser reflexivo. Exemplos de espaços reflexivos são os espaços de Hilbert e os de dimensão finita.^[2]

Referências

Ligações externas

• Weisstein, Eric W. «Dual Space» (em inglês). MathWorld 
• dual space - PlanetMath