Posto matricial

O posto ^{(português brasileiro)} ou característica ^{(português europeu)} de uma matriz (em inglês, "matrix rank") é o número de linhas não-nulas da matriz em causa, quando escrita na forma escalonada por linhas. Equivalentemente, corresponde ao número de linhas ou colunas linearmente independentes da matriz. A característica de uma matriz tem várias implicações^[quais?] em relação à independência linear e a dimensão de um espaço vetorial.

O posto de uma matriz pode ser encontrado através dos menores da matriz ou forma escalonada reduzida por linhas.

Forma Escalonada Reduzida por Linhas

Nesta forma, é necessário que as matrizes tenham todo o elemento de uma linha que antecede o pivô como nulo. O pivô de uma matriz é quando a linha ${\displaystyle m}$ e a coluna ${\displaystyle n}$ tem o mesmo valor, ou seja, ${\displaystyle m=n}$. ^[1]Seja uma matriz ${\displaystyle A}$ com dimensões ${\displaystyle 3\times 4}$:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\\end{pmatrix}}}$

Reduzindo à Forma Escalonada Reduzida por Linhas soma elementos da segunda linha com os elementos da primeira linha multiplicados por ${\displaystyle {\frac {-a_{21}}{a_{11}}}}$. Resultando:

${\displaystyle A'={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\0&a_{22}-{\frac {a_{12}\times a_{21}}{a_{11}}}&a_{23}-{\frac {a_{13}\times a_{21}}{a_{11}}}&a_{24}-{\frac {a_{14}\times a_{21}}{a_{11}}}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\\end{pmatrix}}}$

Repetindo o mesmo processo de com a terceira linha, resulta-se:

${\displaystyle A'={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\0&a_{22}-{\frac {a_{12}\times a_{21}}{a_{11}}}&a_{23}-{\frac {a_{13}\times a_{21}}{a_{11}}}&a_{24}-{\frac {a_{14}\times a_{21}}{a_{11}}}\\0&a_{32}-{\frac {a_{12}\times a_{31}}{a_{11}}}&a_{33}-{\frac {a_{13}\times a_{31}}{a_{11}}}&a_{34}-{\frac {a_{14}\times a_{31}}{a_{11}}}\\\end{pmatrix}}}$

Repetindo o mesmo processo transformando ${\displaystyle a_{32}-{\frac {a_{12}\times a_{31}}{a_{11}}}}$ em 0, seja a matriz ${\displaystyle E}$ a matriz escalonada, tem-se:

${\displaystyle E={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\0&e_{22}&e_{23}&e_{24}\\0&0&e_{33}&e_{34}\end{pmatrix}}}$.

O posto será o número de linhas que tem elementos diferente de 0 após o escalonamento. Se a matriz for quadrada, e o posto for igual ao número de linhas, então a matriz tem Posto Cheio (full rank). Resultando em uma matriz linearmente independente, e um dos pré-requisitos para a inversão de matriz.

Caso não seja possível por esse método, é recomendado utilizar outros métodos, como através do método de menor.

Característica de uma matriz

De acordo com o teorema de Kronecker, a característica de uma matriz B é c se e somente se:

• Existe pelo menos uma submatriz ${\displaystyle c\times c}$ cujo determinante é diferente de zero.
• Toda submatriz quadrada de ordem superior a c tem determinante zero.

Um menor de uma matriz é o determinante de uma de suas submatrizes. Logo, B tem a característica c quando pelo menos uma de suas submatrizes tem um determinante c não nulo (seu menor) e todo menor de ordem superior é igual a zero.

Se c for não nulo, então c é o maior inteiro não-negativo tal que B possui pelo menos uma submatriz ${\displaystyle c\times c}$ com determinante diferente de zero. De acordo com a definição,

• ${\displaystyle \mathrm {car} (B)\leqslant m}$
• ${\displaystyle \mathrm {car} (B)\leqslant n}$

onde m é o número de linhas e n o número de colunas de B.

Literatura

• Horn, Roger A. and Johnson, Charles R. Matrix Analysis. Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-38632-2.
• Kaw, Autar K. Two Chapters from the book Introduction to Matrix Algebra: 1. Vectors [1] and System of Equations [2]
• Mike Brookes: Matrix Reference Manual. [3]
• Boldrini; Costa; Figueiredo; Wetzler Álgebra Linear, 3a edição, Editora Habra.

Ver também

• Álgebra linear

• Portal da matemática

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