Kryterium Eisensteina

Kryterium Eisensteina (lub kryterium Eisensteina-Schönemanna^[1]) – kryterium badania nierozkładalności wielomianów o współczynnikach z pewnego pierścienia z jednoznacznym rozkładem w pierścieniu wielomianów o współczynnikach z ciała ułamków wyjściowego pierścienia. Początkowo sformułowane dla wielomianów o współczynnikach całkowitych. Twierdzenie to zwyczajowo nazywane jest kryterium Eisensteina, jednak pierwszym autorem był Schönemann^[1][2], który udowodnił je w 1846^[1].

Twierdzenie

Niech ${\displaystyle P}$ będzie pierścieniem z jednoznacznym rozkładem i niech ${\displaystyle K}$ będzie jego ciałem ułamków. Niech

${\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots +a_{1}x+a_{0}}$

będzie wielomianem o współczynnikach z pierścienia ${\displaystyle P.}$ Jeśli istnieje element pierwszy ${\displaystyle p\in P}$ taki, że

${\displaystyle p\mid a_{0},p\mid a_{1},\dots ,p\mid a_{n-1},p\nmid a_{n}}$ oraz ${\displaystyle p^{2}\nmid a_{0},}$

to wielomian ${\displaystyle f}$ jest nierozkładalny w pierścieniu ${\displaystyle K[x].}$

Szczególny przypadek

Jeśli ${\displaystyle P}$ jest pierścieniem liczb całkowitych, to jego ciałem ułamków jest ciało liczb wymiernych. Wystarczy wówczas zastąpić zwrot element pierwszy przez liczba pierwsza.

Przykłady

• Wielomian ${\displaystyle f(x)=x^{n}+3x+3}$ jest nierozkładalny na mocy kryterium Eisensteina dla ${\displaystyle p=3.}$
• Jeśli ${\displaystyle p}$ jest liczbą pierwszą, to wielomian

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{p}-1}{x-1}}=x^{p-1}+x^{p-2}+\ldots +x+1}$

jest nierozkładalny w ciele liczb wymiernych. Istotnie,

${\displaystyle f(x+1)={\frac {(x+1)^{p}-1}{x}}={\frac {1}{x}}\left(x^{p}+{p \choose 1}x^{p-1}+\ldots +{p \choose {p-1}}x\right)=x^{p-1}+{p \choose 1}x^{p-2}+\ldots +{p \choose {p-1}},}$

gdzie ${\displaystyle p \choose k}$ oznacza symbole Newtona, na przykład ${\displaystyle {p \choose {p-1}}=p.}$

Wszystkie współczynniki tego wielomianu z wyjątkiem najstarszego są podzielne przez ${\displaystyle p,}$ ale ${\displaystyle p^{2}}$ nie dzieli ${\displaystyle p,}$ zatem z kryterium Eisensteina wynika, że wielomian ten jest nierozkładalny w ciele liczb wymiernych.

Przypisy

Bibliografia

• Andrzej Mostowski, Marceli Stark: Elementy algebry wyższej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1975.brak strony w książce