Campo gravitazionale

Disambiguazione – Se stai cercando il campo terrestre, vedi Campo gravitazionale terrestre.

In fisica, il campo gravitazionale è il campo associato all'interazione gravitazionale.

In meccanica classica, il campo gravitazionale è trattato come un campo di forze conservativo. Secondo la relatività generale esso è espressione della curvatura dello spazio-tempo creata dalla presenza di massa o energia (quindi la forza di gravità sarebbe una forza apparente) ed è rappresentato matematicamente da un tensore metrico legato allo spazio-tempo curvo attraverso il tensore di Riemann.

Il campo gravitazionale generato dalla Terra, ad esempio, in prossimità della superficie terrestre assume valori prossimi a 9,8 m·s-2 e per convenzione tale valore si adotta come riferimento per l'accelerazione di gravità.

Definizione newtoniana

Rappresentazione del campo gravitazionale tra la Terra e la Luna.

Il campo gravitazionale è un campo di forze conservativo. Il vettore del campo gravitazionale generato nel punto r {\displaystyle \mathbf {r} } nello spazio dalla presenza di una massa nel punto O , {\displaystyle \mathbf {O} ,} origine del riferimento, è definito come:

g ( r ) = − G M r r 3 , {\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-GM{\frac {\mathbf {r} }{r^{3}}}\,,}

dove G {\displaystyle G} è la costante di gravitazione universale e M {\displaystyle M} la massa. È quindi possibile esprimere la forza esercitata sul corpo di massa m come:

F ( r ) = m g ( r ) . {\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=m\mathbf {g} (\mathbf {r} )\,.}

L'unità di misura del campo gravitazionale nel Sistema internazionale è:

[ g ] = [ N k g ] = [ m s 2 ] {\displaystyle {\big [}{g}{\big ]}=\left[{\frac {\mathrm {N} }{\mathrm {kg} }}\right]=\left[{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}\right]}

dove g = ‖ g ‖ {\displaystyle g=\|\mathbf {g} \|} è il modulo di g {\displaystyle \mathbf {g} } .

L'accelerazione di gravità in una stanza (la curvatura terrestre è trascurabile e quindi il vettore g {\displaystyle \mathbf {g} } è costante e diretto verso il basso).

Il campo gravitazionale è descritto dal potenziale gravitazionale, definito come il valore dell'energia gravitazionale rilevato da una massa posta in un punto dello spazio per unità di massa. L'energia gravitazionale della massa è il livello di energia che la massa possiede a causa della sua posizione all'interno del campo gravitazionale; pertanto il potenziale gravitazionale della massa è il rapporto tra l'energia gravitazionale e il valore della massa stessa, cioè:

V = U M . {\displaystyle \operatorname {V} ={\frac {U}{M}}\,.}

Essendo il campo gravitazionale conservativo, è sempre possibile definire una funzione scalare V il cui gradiente, cambiato di segno, coincida con il campo:

g ( r ) = − ∇ V . {\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-\nabla V\,.}

Per ogni campo gravitazionale è possibile definire delle superfici ortogonali al campo in ogni punto dello spazio, dette superfici equipotenziali. Il significato fisico di queste superfici è chiaro se si considera il lavoro della forza di gravità lungo un cammino appartenente alla superficie: dato che lo spostamento è punto per punto ortogonale alla forza, il lavoro lungo questo cammino è nullo. Ciò vuol dire che masse uguali sulla stessa superficie equipotenziale hanno la stessa energia potenziale. Per esempio, nel caso di una sorgente sferica, le superfici equipotenziali sono sfere concentriche e le linee di flusso sono l'insieme delle semirette entranti nel centro delle sfere.

Indicato il campo gravitazionale come x ↦ x ‖ x ‖ 3 , {\displaystyle {\bf {x}}\,\mapsto {\frac {\bf {x}}{\|{\bf {x}}\|^{3}}},} a meno di fattori moltiplicativi e traslazionali, con x = ( x 1 , x 2 , x 3 ) {\displaystyle {\bf {x}}={\big (}x_{1},x_{2},x_{3}{\big )}} vettore posizione, si osserva che la sua divergenza in tre dimensioni è nulla. Infatti:

∇ ⋅ x ‖ x ‖ 3 = ∑ k = 1 3 ∂ ∂ x k ( x k ‖ x ‖ 3 ) = ∑ k = 1 3 ‖ x ‖ 3 − x k 3 ‖ x ‖ 2 x k ‖ x ‖ ‖ x ‖ 6 = ∑ k = 1 3 ( 1 ‖ x ‖ 3 − 3 x k 2 ‖ x ‖ 5 ) = 3 ‖ x ‖ 3 − 3 ( x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 ) ‖ x ‖ 5 = 0 . {\displaystyle \nabla \cdot {\frac {\bf {x}}{\|{\bf {x}}\|^{3}}}=\sum _{k=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left({\frac {x_{k}}{\|{\bf {x}}\|^{3}}}\right)=\sum _{k=1}^{3}{\frac {\|{\bf {x}}\|^{3}-x_{k}3\|{\bf {x}}\|^{2}\displaystyle {\frac {x_{k}}{\|{\bf {x}}\|}}}{\|{\bf {x}}\|^{6}}}=\sum _{k=1}^{3}\left({\frac {1}{\|{\bf {x}}\|^{3}}}-{\frac {3x_{k}^{2}}{\|{\bf {x}}\|^{5}}}\right)={\frac {3}{\|{\bf {x}}\|^{3}}}-{\frac {3{\big (}x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}{\big )}}{\|{\bf {x}}\|^{5}}}=0\,.}

Definizione einsteiniana

Il campo gravitazionale assume nell'ambito della teoria della relatività generale di Einstein una struttura molto più complessa. Esso rappresenta la differenza tra il tensore metrico dello spazio-tempo e il tensore metrico dello spazio-tempo piatto, o spazio-tempo di Minkowski. La deformazione dello spazio-tempo data dal campo gravitazionale viene talvolta rappresentata graficamente come la deformazione di un materasso, o di un telo elastico, ad opera di una palla pesante posta su di esso: qui lo spazio-tempo piatto è rappresentato dal telo perfettamente teso e, appunto, piatto.

Il tensore metrico dello spazio-tempo deformato dalla presenza di masse, oppure semplicemente energia, viene calcolato attraverso l'equazione di campo di Einstein:

R μ ν − 1 2 g μ ν R = 8 π G c 4 T μ ν {\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }}

dove g μ ν {\displaystyle g_{\mu \nu }} è il tensore metrico, R {\displaystyle R} e R μ ν {\displaystyle R_{\mu \nu }} sono rispettivamente la curvatura scalare e il Tensore di Ricci, ottenuti come contrazione dal Tensore di Riemann (legato alle derivate del tensore metrico); G {\displaystyle G} è la costante di gravitazione universale e T μ ν {\displaystyle T_{\mu \nu }} denota il Tensore energia impulso, che rappresenta densità e flusso di materia ed energia (non gravitazionale) in ciascun punto dello spazio-tempo.

Bibliografia

  • (EN) Robert Geroch, General relativity from A to B, University of Chicago Press, 1981, p. 181, ISBN 0-226-28864-1.
  • (EN) Øyvind Grøn e Sigbjørn Hervik, Einstein's general theory of relativity: with modern applications in cosmology, Springer Japan, 2007, p. 256, ISBN 0-387-69199-5.
  • (EN) J. Foster e J. D. Nightingale, A short course in general relativity, 3ª ed., Springer Science & Business, 2006, p. 55, ISBN 0-387-26078-1.

Voci correlate

Collegamenti esterni

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