Tensore energia impulso

Il tensore energia-impulso, anche detto tensore energia-quantità di moto, è un tensore definito nell'ambito della teoria della relatività. Esso descrive il flusso di energia e quantità di moto associate a un campo.

Definizione

Il tensore energia impulso è il tensore ${\displaystyle T^{ik}}$ del secondo ordine che fornisce il flusso della componente ${\displaystyle i}$-esima della quantità di moto attraverso una ipersuperficie ${\displaystyle S_{k}}$ con coordinate ${\displaystyle x_{k}}$ costanti. In relatività generale la quantità di moto è il quadrimpulso ${\displaystyle P^{i}}$, e dunque:^[1]

${\displaystyle P^{i}=\alpha \int T^{ik}dS_{k}}$

dove ${\displaystyle \alpha }$ è un termine costante. Eseguendo l'integrale sull'iperpiano ${\displaystyle x^{0}={\text{costante}}}$ si ha l'impulso in tre dimensioni:

${\displaystyle P^{i}=\alpha \int T^{i0}dV}$

con ${\displaystyle dV}$ l'elemento di spazio tridimensionale e ${\displaystyle dVdt}$ il volume contenuto in ${\displaystyle dS_{k}}$.

Le componenti spaziali del tensore sono quindi le componenti tridimensionali dell'impulso classico, mentre la componente temporale è l'energia divisa per la velocità della luce: esso rappresenta il vettore energia-momento totale della regione di spazio a cui è esteso l'integrale.

Il tensore è utilizzato per esprimere la conservazione del quadrimpulso, fornita dall'equazione di continuità:

${\displaystyle {\frac {\partial T_{i}^{k}}{\partial x^{k}}}=0}$

Infatti, esso corrisponde alla corrente di Noether associata alle traslazioni nello spaziotempo, e in relatività generale questa quantità agisce come sorgente della curvatura dello spaziotempo. Nello spaziotempo curvo l'integrale spaziale dipende dalla porzione di spazio in generale, e questo significa che non c'è modo di definire un vettore energia-momento globale in uno spaziotempo curvo generale.

Il tensore è inoltre simmetrico:^[2]

${\displaystyle T^{ik}=T^{ki}}$

e la componente temporale è la densità di massa relativistica ${\displaystyle \rho }$, cioè la densità di energia divisa per la velocità della luce al quadrato:

${\displaystyle T^{00}=\rho }$

Il flusso della massa relativistica attraverso la superficie ${\displaystyle x^{i}}$ è equivalente alla densità dell'i-esima componente della quantità di moto:^[2]

${\displaystyle T^{0i}=T^{i0}}$

Le componenti spaziali di ${\displaystyle T^{ik}}$ rappresentano dunque il flusso della quantità di moto i-esima attraverso la superficie ${\displaystyle x^{k}}$. In particolare, ${\displaystyle T^{ii}}$ rappresenta la componente normale della tensione interna, detta pressione quando è indipendente dalla direzione, mentre ${\displaystyle T^{ik}}$ rappresenta lo sforzo di taglio.

Derivazione

Si consideri un sistema in cui l'azione ha la forma data dall'integrale quadridimensionale:

${\displaystyle S=\int \lambda \left(q,{\frac {\partial q}{\partial x^{i}}},t\right)dVdt=\int \lambda d\Omega }$

dove ${\displaystyle \lambda }$ è la densità di lagrangiana relativa all'elemento di volume ${\displaystyle dV}$, funzione delle coordinate generalizzate, della loro derivata e del tempo. Il principio variazionale di Hamilton stabilisce che il moto di un sistema fisico fra due istanti dello spazio delle configurazioni è tale che l'azione sia stazionaria in corrispondenza della traiettoria del moto per piccole perturbazioni dello stesso, ovvero ${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=0}$, e quindi:^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta S&={\frac {1}{c}}\int \left({\frac {\partial \lambda }{\partial q}}\delta q+{\frac {\partial \lambda }{\partial ({\frac {\partial q}{\partial x^{i}}})}}\delta {\frac {\partial q}{\partial x^{i}}}\right)d\Omega \\&={\frac {1}{c}}\int \left[{\frac {\partial \lambda }{\partial q}}\delta q+{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left({\frac {\partial \lambda }{\partial ({\frac {\partial q}{\partial x^{i}}})}}\delta q\right)-\delta q{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\frac {\partial \lambda }{\partial ({\frac {\partial q}{\partial x^{i}}})}}\right]d\Omega \\&=0\end{aligned}}}$

Se si applica il teorema di Gauss e si considera l'integrale su tutto lo spazio, il secondo termine si annulla. L'equazione del moto assume allora la forma dell'equazioni di Eulero-Lagrange:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\frac {\partial \lambda }{\partial ({\frac {\partial q}{\partial x^{i}}})}}-{\frac {\partial \lambda }{\partial q}}=0}$

dove l'indice ripetuto implica la sommatoria, secondo la notazione di Einstein. Sostituendo tale espressione all'interno di:

${\displaystyle {\frac {\partial \lambda }{\partial x^{i}}}={\frac {\partial \lambda }{\partial q}}{\frac {\partial q}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial \lambda }{\partial ({\frac {\partial q}{\partial x^{k}}})}}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left({\frac {\partial q}{\partial x^{k}}}\right)}$

si ottiene:

${\displaystyle {\frac {\partial \lambda }{\partial x^{i}}}={\frac {\partial }{\partial x^{k}}}\left({\frac {\partial \lambda }{\partial ({\frac {\partial q}{\partial x^{k}}})}}\right){\frac {\partial q}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial \lambda }{\partial ({\frac {\partial q}{\partial x^{k}}})}}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}\left({\frac {\partial q}{\partial x^{i}}}\right)={\frac {\partial }{\partial x^{k}}}\left({\frac {\partial q}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial \lambda }{\partial ({\frac {\partial q}{\partial x^{k}}})}}\right)}$

Dato che ${\displaystyle {\frac {\partial \lambda }{\partial x^{i}}}=\delta _{i}^{k}{\frac {\partial \lambda }{\partial x^{k}}}}$, si definisce il tensore energia impulso come:

${\displaystyle T_{i}^{k}={\frac {\partial q}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial \lambda }{\partial ({\frac {\partial q}{\partial x^{k}}})}}-\delta _{i}^{k}\lambda }$

in modo che l'espressione assume la forma:

${\displaystyle {\frac {\partial T_{i}^{k}}{\partial x^{k}}}=0}$

Il teorema della divergenza consente di trasformare l'integrale volumetrico di tale derivata in un flusso attraverso la ipersuperficie che delimita il volume:^[4]

${\displaystyle \int {\frac {\partial T_{i}^{k}}{\partial x^{k}}}d\Omega =\alpha \int T^{ik}dS_{k}=P^{i}}$

dove ${\displaystyle P^{i}}$ è il quadrimpulso del sistema e ${\displaystyle \alpha }$ un termine costante che si pone solitamente pari a ${\displaystyle 1/c}$: la relazione stabilisce che ${\displaystyle P^{i}}$ si conserva.

Conservazione dell'energia

Scrivendo in modo esplicito le derivate dell'equazione di continuità ${\displaystyle \partial T_{i}^{k}/\partial x^{k}=0}$ si hanno le espressioni:^[2]

${\displaystyle {\frac {1}{c}}{\frac {\partial T^{00}}{\partial t}}+{\frac {\partial T^{0\alpha }}{\partial x^{\alpha }}}=0\qquad {\frac {1}{c}}{\frac {\partial T^{\alpha 0}}{\partial t}}+{\frac {\partial T^{\alpha \beta }}{\partial x^{\beta }}}=0}$

Integrando l'equazione a sinistra sul volume ${\displaystyle V}$ e utilizzando il teorema della divergenza si ottiene:^[5]

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\int T^{00}dV=-c\int {\frac {\partial T^{0\alpha }}{\partial x^{\alpha }}}dV=-c\int T^{0\alpha }df_{\alpha }}$

Il primo termine è la variazione dell'energia contenuta nel volume ${\displaystyle V}$, il terzo rappresenta quindi la quantità di energia che fuoriesce dalla superficie che delimita il volume, quantificata come l'integrale su tutta la superficie del flusso infinitesimo attraverso l'elemento di superficie ${\displaystyle d\mathbf {f} =(f_{x},f_{y},f_{z})}$. In elettrodinamica, la densità del flusso dell'energia associata al campo elettromagnetico è data dal vettore di Poynting.

Applicando il medesimo procedimento alle componenti spaziali del tensore si ottiene l'analoga equazione di continuità per l'impulso: per tale motivo le componenti spaziali del tensore energia-impulso costituiscono il tensore degli sforzi.

Il tensore energia impulso del campo elettromagnetico

Il tensore energia impulso associato al campo elettromagnetico in un punto-universo privo di carica, detto tensore degli sforzi elettromagnetico, è definito nel sistema internazionale di unità di misura e nello spaziotempo di Minkowski piatto (ossia nell'approssimazione di campo (elettromagnetico e di altra natura) di debole intensità) come:^[6]

${\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}[F^{\mu \alpha }F^{\nu }{}_{\alpha }-{\frac {1}{4}}\eta ^{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }]}$

dove ${\displaystyle F^{\mu \nu }}$ è il tensore elettromagnetico. La forma matriciale esplicita (tensore simmetrico) è:

${\displaystyle T^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}(\varepsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2})&S_{x}/c&S_{y}/c&S_{z}/c\\S_{x}/c&-\sigma _{xx}&-\sigma _{xy}&-\sigma _{xz}\\S_{y}/c&-\sigma _{yx}&-\sigma _{yy}&-\sigma _{yz}\\S_{z}/c&-\sigma _{zx}&-\sigma _{zy}&-\sigma _{zz}\end{bmatrix}}}$

dove ${\displaystyle {\vec {S}}}$ è il vettore di Poynting, ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$ il tensore metrico dello spaziotempo di Minkowski:

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }\!={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$

e ${\displaystyle \sigma _{ij}}$ il tensore degli sforzi di Maxwell:^[7]

${\displaystyle \sigma _{ij}=\varepsilon _{0}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\left({\varepsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}}\right)\delta _{ij}}$

Si noti che ${\displaystyle c^{2}={\frac {1}{\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}$ dove c è la velocità della luce.

Il tensore energia-impulso associato al campo elettromagnetico puro in un punto-universo privo di carica in relatività generale entra nell'equazione di campo di Einstein nella quale il tensore energia-impulso deve contenere anche tutte le influenze dovute alla massa e agli altri campi presenti nell'universo.

Note

Bibliografia

• (EN) John D. Jackson, Classical Electrodynamics, 3ª ed., Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X.
• Lev D. Landau e Evgenij M. Lifšic, Fisica teorica 2 - Teoria dei campi, Roma, Editori Riuniti Mir, 1976, ISBN 88-359-5358-8.
• Leonardo Ricci, "History of science: Dante's insight into galilean invariance", Nature 434, p. 717 7 aprile 2005.
• Tommaso Alberto Figliuzzi, Relatività e Causalità tra fisica e filosofia, Aracne Editrice, 2007.
• Bertrand Russell, L'ABC della relatività, 1925.

Voci correlate

• Azione (fisica)
• Campo elettromagnetico
• Equazione di continuità
• Principio variazionale di Hamilton
• Quadrimpulso
• Tensore degli sforzi elettromagnetico
• Teorema di Noether
• Vettore di Poynting

Collegamenti esterni

• (EN) Testo della teoria della relatività di Einstein, su bartleby.com.
• (EN) Progetto Beyond Einstein della NASA, su universe.nasa.gov.
• (EN) Gravitazione quantistica a loop, su qgravity.org.
• (EN) Reflections on Relativity — Un completo corso on line sulla Relatività.
• Un'introduzione alla Teoria della Relatività di A. Amadori - L. Lussardi (PDF), su arrigoamadori.com. URL consultato il 29 aprile 2010 (archiviato dall'url originale il 3 dicembre 2010).
• Teoria della Relatività Speciale: formulazione matematica, V. Moretti, università di Trento (PDF), su science.unitn.it.