Moviment rectilini

Un moviment rectilini és aquell moviment on el cos que es mou té una trajectòria rectilínia. Per tant, la seva velocitat es mantindrà constant en direcció i sentit - però no necessàriament en mòdul -, i l'acceleració normal — a causa de les variacions de direcció de la velocitat — serà nul·la.[1]

El moviment rectilini és el més simple de tots els moviments. Segons la primera llei de moviment de Newton,[2] els objectes que no experimenten cap força neta continuaran movent-se en línia recta amb una velocitat constant fins que estiguin subjectes a una força neta. En circumstàncies quotidianes, les forces externes com la gravetat i la fricció poden fer que un objecte canviï la direcció del seu moviment, de manera que el seu moviment deixa de ser lineal.

Moviment rectilini uniforme (MRU)

És aquell moviment rectilini que es produeix quan el cos es mou amb velocitat constant. Tindrà, com qualsevol altre moviment rectilini, l'acceleració normal nul·la; per altra banda, també serà nul·la l'acceleració tangencial, ja que la velocitat es manté constant.[3]

En la vida quotidiana és molt difícil, trobar objectes que es moguin amb velocitat constant, ja que sempre hi ha un fregament que fa que la velocitat disminueixi. Però és molt útil com a aproximació estudiar el moviment amb velocitat constant, ja que és senzill i ens aporta molta informació.

Com que la velocitat és una magnitud vectorial, direm que es manté constant quan no canvia:

  • El mòdul, és a dir, el valor numèric.
  • La direcció, que és la recta que conté.
  • El sentit, que es determina per la punta de la fletxa.

Per tant, perquè no canviï la direcció, la trajectòria ha de ser una línia recta i el mòbil sempre ha d'anar en el mateix sentit i amb el mateix valor de la velocitat.

Aquest moviment s'anomena moviment rectilini uniforme (m.r.u.)

Es pot modelitzar el comportament d'un mòbil en MRU a partir d'una única funció o equació,[4] que ens dona la posició en cada instant en funció del temps:

x ( t ) = x 0 + v ( t − t 0 ) {\displaystyle x(t)=x_{0}+v\left(t-t_{0}\right)}

On:

x   {\displaystyle x\ } = Posició del mòbil respecte al sistema de referència triat
x 0   {\displaystyle x_{0}\ } = Posició inicial (quan t = t 0 {\displaystyle t=t_{0}} )
v   {\displaystyle v\ } = velocitat, que es manté constant
t   {\displaystyle t\ } = temps
t 0   {\displaystyle t_{0}\ } = temps inicial (quan x = x 0 {\displaystyle x=x_{0}} )
Obtenció de l'equació general d'un MRU

Partint de la definició de la velocitat com a derivada de la posició respecte del temps:

v = d x d t ⇒ ∫ d x = ∫ v ⋅ d t ⇒ x = ∫ v ⋅ d t {\displaystyle v={\frac {dx}{dt}}\Rightarrow \int {dx}=\int {v\cdot dt}\Rightarrow x=\int {v\cdot dt}}

Resolent la integral indefinida per v constant:

x = v t + C   {\displaystyle x=vt+C\ }

Aplicant condicions inicials, x = x 0 {\displaystyle x=x_{0}} quan t = t 0 {\displaystyle t=t_{0}} , podem aïllar C:

x 0 = v t 0 + C ⇒ C = x 0 − v t 0   {\displaystyle x_{0}=vt_{0}+C\Rightarrow C=x_{0}-vt_{0}\ }

Substituint C en l'equació anterior:

x = v t + x 0 − v t 0   {\displaystyle x=vt+x_{0}-vt_{0}\ }

I finalment, traient v factor comú, obtenim l'equació general de l'MRU:

x = x 0 + v ( t − t 0 ) {\displaystyle x=x_{0}+v\left(t-t_{0}\right)}

Moviment Rectilini Uniformement Accelerat (MRUA)

És aquell moviment rectilini on la velocitat varia de manera constant, o sigui, existeix una acceleració tangencial constant i diferent de 0. Com en el cas anterior l'acceleració normal serà nul·la.

Aquest moviment es pot modelitzar amb dues equacions bàsiques que es poden ajuntar en una tercera que no depèn del temps. En aquest apartat estudiarem alguns tipus de moviments en què la velocitat canvia; són els moviments accelerats. Limitarem l'estudi als casos en què l'acceleració és constant, és a dir, als moviments rectilinis uniformement accelerats.

El moviment rectilini uniformement accelerat(m.r.u.a) és un moviment en què la trajectòria és una línia recta i l'acceleració és constant.

Equació de la velocitat

En aquest cas, com que la trajectòria és rectilínia, no canvia ni la direcció ni el sentit, només el mòdul de la velocitat: per això només hi ha acceleració tangencial.

Aquesta equació/funció relaciona la velocitat del mòbil amb el temps.

v ( t ) = v 0 + a ( t − t 0 ) {\displaystyle v(t)=v_{0}+a\left(t-t_{0}\right)}

On:

v   {\displaystyle v\ } = velocitat del mòbil en funció del temps t
v 0   {\displaystyle v_{0}\ } = velocitat inicial (quan t = t 0 {\displaystyle t=t_{0}} )
a   {\displaystyle a\ } = acceleració, que es manté constant
t   {\displaystyle t\ } = temps
t 0   {\displaystyle t_{0}\ } = temps inicial (quan x = x 0 {\displaystyle x=x_{0}} )
Obtenció de l'equació de la velocitat

Partim de la definició de l'acceleració com a la derivada de la velocitat:

a = d v d t ⇒ ∫ d v = ∫ a ⋅ d t ⇒ v = ∫ a ⋅ d t {\displaystyle a={\frac {dv}{dt}}\Rightarrow \int {dv}=\int {a\cdot dt}\Rightarrow v=\int {a\cdot dt}}

Resolent la integral indefinida per a {\displaystyle a} constant:

v = a t + C   {\displaystyle v=at+C\ }

Aplicant condicions inicials, v = v 0 {\displaystyle v=v_{0}} quan t = t 0 {\displaystyle t=t_{0}} , podem aïllar C:

v 0 = a t 0 + C ⇒ C = v 0 − a t 0   {\displaystyle v_{0}=at_{0}+C\Rightarrow C=v_{0}-at_{0}\ }

Substituint C en l'equació anterior:

v = a t + v 0 − a t 0   {\displaystyle v=at+v_{0}-at_{0}\ }

I finalment, traient a {\displaystyle a} factor comú, obtenim l'equació de la velocitat de l'MRUA:

v = v 0 + a ( t − t 0 ) {\displaystyle v=v_{0}+a\left(t-t_{0}\right)}

Equació de la posició

Aquesta funció o equació ens dona la posició d'un mòbil en MRUA en cada instant, en funció del temps:

x = x 0 + v 0 ( t − t 0 ) + 1 2 a ( t − t 0 ) 2 {\displaystyle x=x_{0}+v_{0}\left(t-t_{0}\right)+{\frac {1}{2}}a\left(t-t_{0}\right)^{2}}

On:

x   {\displaystyle x\ } = Posició del mòbil respecte al sistema de referència triat
x 0   {\displaystyle x_{0}\ } = Posició inicial (quan t = t 0 {\displaystyle t=t_{0}} )
v 0   {\displaystyle v_{0}\ } = velocitat inicial del mòbil (quan t = t 0 {\displaystyle t=t_{0}} )
a   {\displaystyle a\ } = acceleració, que es manté constant
t   {\displaystyle t\ } = temps
t 0   {\displaystyle t_{0}\ } = temps inicial (quan x = x 0 {\displaystyle x=x_{0}} i v = v 0 {\displaystyle v=v_{0}} )
Obtenció de l'equació de la posició

Partim, igual que per a la demostració de l'equació del MRU, de la definició de la velocitat com a la derivada de la posició respecte del temps:

v = d x d t ⇒ ∫ d x = ∫ v ⋅ d t ⇒ x = ∫ v ⋅ d t {\displaystyle v={\frac {dx}{dt}}\Rightarrow \int {dx}=\int {v\cdot dt}\Rightarrow x=\int {v\cdot dt}}

Com que v no és constant, cal aplicar l'equació de la velocitat v = v 0 + a ( t − t 0 ) {\displaystyle v=v_{0}+a\left(t-t_{0}\right)} per resoldre la integral:

x = ∫ [ v 0 + a ( t − t 0 ) ] ⋅ d t {\displaystyle x=\int {\left[v_{0}+a\left(t-t_{0}\right)\right]\cdot dt}}

Desenvolupem els parèntesis, per poder separar els sumands que formen la integral en diferents integrals separades:

x = ∫ [ v 0 + a t − a t 0 ] ⋅ d t = ∫ v 0 ⋅ d t + ∫ a t ⋅ d t − ∫ a t 0 ⋅ d t {\displaystyle x=\int {\left[v_{0}+at-at_{0}\right]\cdot dt}=\int {v_{0}\cdot dt}+\int {at\cdot dt}-\int {at_{0}}\cdot dt}

Resolem les diferents integrals, tenint en compte que v 0 {\displaystyle v_{0}} , a {\displaystyle a} i t 0 {\displaystyle t_{0}} són constants:

x = v 0 t + 1 2 a t 2 − a t 0 t + C {\displaystyle x=v_{0}t+{\frac {1}{2}}at^{2}-at_{0}t+C}

Apliquem condicions inicials, x = x 0 {\displaystyle x=x_{0}} quan t = t 0 {\displaystyle t=t_{0}} i operem:

x 0 = v 0 t 0 + 1 2 a t 0 2 − a t 0 t 0 + C = v 0 t 0 + 1 2 a t 0 2 − a t 0 2 + C = v 0 t 0 + a t 0 2 ( 1 2 − 1 ) + C = v 0 t 0 − 1 2 a t 0 2 + C {\displaystyle x_{0}=v_{0}t_{0}+{\frac {1}{2}}a{t_{0}}^{2}-at_{0}t_{0}+C=v_{0}t_{0}+{\frac {1}{2}}a{t_{0}}^{2}-a{t_{0}}^{2}+C=v_{0}t_{0}+a{t_{0}}^{2}\left({\frac {1}{2}}-1\right)+C=v_{0}t_{0}-{\frac {1}{2}}a{t_{0}}^{2}+C}

Aïllem C:

C = x 0 − v 0 t 0 + 1 2 a t 0 2 {\displaystyle C=x_{0}-v_{0}t_{0}+{\frac {1}{2}}a{t_{0}}^{2}}

Substitüim en l'equació obtinguda en resoldre la integral:

x = v 0 t + 1 2 a t 2 − a t 0 t + x 0 − v 0 t 0 + 1 2 a t 0 2 {\displaystyle x=v_{0}t+{\frac {1}{2}}at^{2}-at_{0}t+x_{0}-v_{0}t_{0}+{\frac {1}{2}}a{t_{0}}^{2}}

Traiem factor comú v 0 {\displaystyle v_{0}} i reduïm a denominador comú els termes que contenen a {\displaystyle a} :

x = x 0 + v 0 ( t − t 0 ) + a t 2 2 − 2 a t 0 t 2 + a t 0 2 2 = x 0 + v 0 ( t − t 0 ) + a t 2 − 2 a t 0 t + a t 0 2 2 {\displaystyle x=x_{0}+v_{0}\left(t-t_{0}\right)+{\frac {at^{2}}{2}}-{\frac {2at_{0}t}{2}}+{\frac {a{t_{0}}^{2}}{2}}=x_{0}+v_{0}\left(t-t_{0}\right)+{\frac {at^{2}-2at_{0}t+a{t_{0}}^{2}}{2}}}

Traiem factor comú 1 2 a {\displaystyle {\frac {1}{2}}a}

x = x 0 + v 0 ( t − t 0 ) + 1 2 a ( t 2 − 2 t 0 t + t 0 2 ) {\displaystyle x=x_{0}+v_{0}\left(t-t_{0}\right)+{\frac {1}{2}}a\left(t^{2}-2t_{0}t+{t_{0}}^{2}\right)}

Podem simplificar els termes de l'interior dels últims parèntesis, ja que són el resultat d'un producte notable. D'aquesta manera, aconseguim l'equació de la posició per al MRUA:

x = x 0 + v 0 ( t − t 0 ) + 1 2 a ( t − t 0 ) 2 {\displaystyle x=x_{0}+v_{0}\left(t-t_{0}\right)+{\frac {1}{2}}a\left(t-t_{0}\right)^{2}}

Equacions no horàries

Tot i que no són necessàries per a la caracterització i l'estudi d'un MRUA, a l'hora de resoldre problemes poden resultar molt útils, ja que no incorporen el temps en la seva expressió (d'aquí el seu nom). S'obtenen a partir d'un sistema format per les dues equacions anteriors.

Equació no horària completa:

v 2 = v 0 2 + 2 a ( x − x 0 ) {\displaystyle v^{2}={v_{0}}^{2}+2a\left(x-x_{0}\right)}

Equació no horària simplificada: aconseguida considerant v 0 = 0   {\displaystyle v_{0}=0\ } i x 0 = 0   {\displaystyle x_{0}=0\ } .

v = 2 a x {\displaystyle v={\sqrt {2ax}}}
Obtenció a partir de les dues equacions anteriors

Per obtenir l'equació no horària completa partim d'un sistema format per l'equació de la posició i la de la velocitat el qual, en resoldre'l, ens portarà a l'equació desitjada.

{ x = x 0 + v 0 ( t − t 0 ) + 1 2 a ( t − t 0 ) 2 v = v 0 + a ( t − t 0 ) {\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&x=x_{0}+v_{0}\left(t-t_{0}\right)+{\frac {1}{2}}a\left(t-t_{0}\right)^{2}\\&v=v_{0}+a\left(t-t_{0}\right)\\\end{aligned}}\right.}

Movem x 0   {\displaystyle x_{0}\ } a l'esquerra de la igualtat:

{ x − x 0 = v 0 ( t − t 0 ) + 1 2 a ( t − t 0 ) 2 v = v 0 + a ( t − t 0 ) {\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&x-x_{0}=v_{0}\left(t-t_{0}\right)+{\frac {1}{2}}a\left(t-t_{0}\right)^{2}\\&v=v_{0}+a\left(t-t_{0}\right)\\\end{aligned}}\right.}

Definim Δ x = x − x 0   {\displaystyle \Delta x=x-x_{0}\ } i Δ t = t − t 0   {\displaystyle \Delta t=t-t_{0}\ } , i ho substituïm en les dues equacions:

{ Δ x = v 0 Δ t + 1 2 a Δ t 2 v = v 0 + a Δ t {\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&\Delta x=v_{0}\Delta t+{\frac {1}{2}}a\Delta t^{2}\\&v=v_{0}+a\Delta t\\\end{aligned}}\right.}

Aïllem Δ t   {\displaystyle \Delta t\ } en la segona equació:

Δ t = v − v 0 a {\displaystyle \Delta t={\frac {v-v_{0}}{a}}}

Substituïm Δ t   {\displaystyle \Delta t\ } en la primera equació per eliminar el temps:

Δ x = v 0 v − v 0 a + 1 2 a ( v − v 0 a ) 2 {\displaystyle \Delta x=v_{0}{\frac {v-v_{0}}{a}}+{\frac {1}{2}}a\left({\frac {v-v_{0}}{a}}\right)^{2}}

Operem:

Δ x = v 0 v − v 0 a + 1 2 a ( v − v 0 a ) 2 = v 0 v − v 0 2 a + 1 2 a ( v − v 0 ) 2 a 2 = v 0 v − v 0 2 a + ( v − v 0 ) 2 2 a = 2 v 0 v − 2 v 0 2 2 a + v 2 − 2 v v 0 + v 0 2 2 a = 2 v 0 v − 2 v 0 2 + v 2 − 2 v v 0 + v 0 2 2 a = v 2 − v 0 2 2 a {\displaystyle {\begin{aligned}&\Delta x=v_{0}{\frac {v-v_{0}}{a}}+{\frac {1}{2}}a\left({\frac {v-v_{0}}{a}}\right)^{2}={\frac {v_{0}v-{v_{0}}^{2}}{a}}+{\frac {1}{2}}a{\frac {\left(v-v_{0}\right)^{2}}{a^{2}}}={\frac {v_{0}v-{v_{0}}^{2}}{a}}+{\frac {\left(v-v_{0}\right)^{2}}{2a}}=\\&{\frac {2v_{0}v-2{v_{0}}^{2}}{2a}}+{\frac {v^{2}-2vv_{0}+{v_{0}}^{2}}{2a}}={\frac {2v_{0}v-2{v_{0}}^{2}+v^{2}-2vv_{0}+{v_{0}}^{2}}{2a}}={\frac {v^{2}-{v_{0}}^{2}}{2a}}\\\end{aligned}}}

Aïllem v 2   {\displaystyle v^{2}\ } :

Δ x = v 2 − v 0 2 2 a ⇒ 2 a Δ x = v 2 − v 0 2 ⇒ v 2 = v 0 2 + 2 a Δ x {\displaystyle \Delta x={\frac {v^{2}-{v_{0}}^{2}}{2a}}\Rightarrow 2a\Delta x=v^{2}-{v_{0}}^{2}\Rightarrow v^{2}={v_{0}}^{2}+2a\Delta x}

I, finalment, substituïm altra vegada x − x 0 = Δ x   {\displaystyle x-x_{0}=\Delta x\ } per obtenir l'equació no horària completa:

v 2 = v 0 2 + 2 a ( x − x 0 ) {\displaystyle v^{2}={v_{0}}^{2}+2a\left(x-x_{0}\right)}

A partir d'aquí podem considerar v 0 = 0   {\displaystyle v_{0}=0\ } i x 0 = 0   {\displaystyle x_{0}=0\ } i operar per aconseguir l'equació no horària simple:

v 2 = 0 2 + 2 a ( x − 0 ) = 2 a x ⇒ v = 2 a x {\displaystyle v^{2}=0^{2}+2a\left(x-0\right)=2ax\Rightarrow v={\sqrt {2ax}}}

Cas particular de la caiguda lliure

Es considera caiguda lliure al model de moviment on un cos cau a causa de l'acció de la gravetat. L'acceleració en aquest cas és l'acceleració de la gravetat, en la superfície de la Terra g=-9.81 m/s². No es té en compte la fricció de l'aire ni les variacions que sofreix la gravetat en la superfície de la Terra. S'acostuma a agafar com a sistema de referència aquell que consisteix en una línia vertical on cap amunt es considera positiu, i cap avall negatiu. D'aquesta manera un cos que baixa té un desplaçament negatiu, i un que puja té un desplaçament positiu. En aquest sistema és important agafar l'acceleració amb valor negatiu.

Si prenem h com alçada, les fórmules resulten:

h = h 0 + v 0 ( t − t 0 ) + 1 2 g ( t − t 0 ) 2 {\displaystyle h=h_{0}+v_{0}(t-t_{0})+{\frac {1}{2}}g(t-t_{0})^{2}}
v = v 0 + g ( t − t 0 )   {\displaystyle v=v_{0}+g(t-t_{0})\ }
g = − 9.81 m / s 2   {\displaystyle g=-9.81m/s^{2}\ }
v 2 = v 0 2 + 2 g ( h − h 0 ) {\displaystyle v^{2}={v_{0}}^{2}+2g(h-h_{0})}

Acceleració

L'acceleració es defineix com la variació de la velocitat amb el temps. L'acceleració instantània és la segona derivada del desplaçament, és a dir, l'acceleració instantània es pot trobar diferenciant la posició respecte al temps dues vegades o diferenciant la velocitat respecte al temps una vegada, que es calcula de la següent manera:

a = d v d t {\displaystyle a={\frac {dv}{dt}}} o el que és el mateix,

a = d 2 x d t 2 {\displaystyle a={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}}

Les unitats de l'acceleració en el SI són m ⋅ s − 2 {\displaystyle m\cdot s^{-2}} o metres per segon al quadrat.

Si a m {\displaystyle a_{m}} és l'acceleració mitjana i Δ v = v 2 − v 1 {\displaystyle \Delta v=v_{2}-v_{1}} és l'increment de la velocitat durant l'interval de temps Δ t {\displaystyle \Delta t} llavors

a m = Δ v Δ t = v 2 − v 1 t 2 − t 1 {\displaystyle a_{m}={\frac {\Delta v}{\Delta t}}={\frac {v_{2}-v_{1}}{t_{2}-t_{1}}}}

Referències

  1. ↑ Walker, Jearl. «Capítol 3». A: Halliday & Resnick principles of physics. Hoboken, N.J. : Wiley, 2011. ISBN 978-0-470-56837-8. 
  2. ↑ «lleis del moviment de Newton». Gran Enciclopèdia Catalana. [Consulta: 22 octubre 2022].
  3. ↑ Física mecánica conceptos básicos y problemas (en castellà). ITM, 2008, p. 81. ISBN 978-958-8351-47-6. 
  4. ↑ «SI Units». International Astronomical Union. [Consulta: 23 octubre 2022].