Phương trình Schrödinger

Phần của loạt bài
Cơ học lượng tử
${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle }$ Phương trình Schrödinger
Giới thiệu Từ vựng Lịch sử
Nền tảng Cơ học cổ điển Thuyết lượng tử cũ Ký hiệu bra-ket Toán tử Hamilton Giao thoa
Nội dung cơ bản Sự cố kết Sự tách sóng Bù Bậc năng lượng Rối Toán tử Hamilton Bất định Trạng thái cơ bản Giao thoa Đo lường Không định hướng Quan sát được Toán tử Lượng tử Thăng giáng lượng tử Bọt lượng tử Sự bay lên lượng tử Số lượng tử Tiếng ồn lượng tử Địa hạt lượng tử Trạng thái lượng tử Hệ thống lượng tử Viễn tải lượng tử Qubit Spin Chồng chập Đối xứng Phá vỡ tính đối xứng Trạng thái chân không Sự truyền sóng Hàm sóng Suy sụp hàm sóng Lưỡng tính sóng-hạt Sóng vật chất
Hiệu ứng Hiệu ứng Zeeman Hiệu ứng Stark Hiệu ứng Aharonov–Bohm Sự lượng tử hóa Landau Hiệu ứng Hall lượng tử Hiệu ứng Zeno lượng tử Xuyên hầm lượng tử Hiệu ứng quang điện Hiệu ứng Casimir
Thí nghiệm Afshar Bất đẳng thức Bell Davisson–Germer Khe Young Elitzur–Vaidman Franck–Hertz Bất đẳng thức Leggett–Garg Mach–Zehnder Popper Sự xóa bỏ lượng tử (delayed-choice) Con mèo của Schrödinger Tính tự diệt và bất diệt của lượng tử Stern–Gerlach Lựa chọn bị trì hoãn Wheeler Bạn của Wigner
Hàm số Phát biểu toán học Bức tranh Heisenberg Tương tác Ma trận Pha không gian Schrödinger Sum-over-histories (path-integral) Định lí Hellmann–Feynman
Phương trình Dirac Klein–Gordon Pauli Rydberg Schrödinger
Sự diễn giải Tổng quan Lịch sử nhất quán Copenhagen de Broglie–Bohm Ensemble Hidden-variable Nhiều thế giới Vật chất sụp đổ Bayesian Logic lượng tử Sự quan hệ Ngẫu nhiên Cân tương đối Transactional
Chủ đề chuyên sâu Quantum annealing Lượng tử hỗn loạn Máy tính lượng tử Ma trận mật độ Lý thuyết trường lượng tử Fractional quantum mechanics Hấp dẫn lượng tử Khoa học thông tin lượng tử Học tập máy lượng tử Thuyết xáo trộn (Cơ học lượng tử) Cơ học lượng tử tương đối tính Lý thuyết tán xạ Spontaneous parametric down-conversion Cơ học lượng tử thống kê
Nhà khoa học Aharonov Bell Blackett Bloch Bohm Bohr Born Bose de Broglie Candlin Compton Dirac Davisson Debye Ehrenfest Einstein Everett Fock Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordan Kramers Pauli Lamb Landau Laue Moseley Millikan Onnes Planck Rabi Raman Rydberg Schrödinger Sommerfeld von Neumann Weyl Wien Wigner Zeeman Zeilinger
x t s

Vật lý hiện đại
${\displaystyle {i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,\,t)={\hat {H}}\Psi (\mathbf {r} ,\,t)}}$ Phương trình Schrödinger
Lịch sử vật lý hiện đại
Người khởi xướng Max Planck  · Albert Einstein
Các ngành Cơ học lượng tử QCD QED Có học thống kê lượng tử Vật lý chất rắn Vật lý hạt nhân Vật lý hạt · Vật lý nguyên tử Thuyết tương đối rộng · Thuyết tương đối hẹp
Khoa học gia Röntgen · Becquerel · Lorentz · Planck · Curie · Wien · Skłodowska-Curie · Sommerfeld · Rutherford · Soddy · Onnes · Einstein · Wilczek · Born · Weyl · Bohr · Schrödinger · de Broglie · Laue · Bose · Compton · Pauli · Walton · Fermi · Waals · Heisenberg · Dyson · Zeeman · Moseley · Hilbert · Gödel · Jordan · Dirac · Wigner · Hawking · P.W Anderson · Thomson · Poincaré · Wheeler · Laue · Penrose · Millikan · Nambu · von Neumann · Higgs · Hahn · Feynman · Lee · Lenard · Salam · 't Hooft · Bell · Gell-Mann · J. J. Thomson  · Raman · Bragg · Bardeen · Shockley · Chadwick · Lawrence
x t s

Phương trình Schrödinger là một phương trình cơ bản của vật lý lượng tử mô tả sự biến đổi trạng thái lượng tử của một hệ vật lý theo thời gian, thay thế cho các định luật Newton và biến đổi Galileo trong cơ học cổ điển.

Trong cơ học lượng tử, trạng thái lượng tử của một hệ vật lý được mô tả đầy đủ nhất bởi một vector trạng thái thí dụ như hàm sóng trong không gian cấu hình, nghiệm của phương trình Schrödinger. Nghiệm của phương trình Schrödinger không chỉ mô tả các hệ nguyên tử và hạ nguyên tử (nguyên tử, phân tử, hạt nhân, điện tử và các hạt cơ bản khác) mà cả các hệ vĩ mô, thậm chí có thể là toàn bộ Vũ trụ. Phương trình này được đặt tên theo nhà vật lý người Áo Erwin Schrödinger, người đã lần đầu tiên thiết lập nó vào năm 1926.^[1]

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta ^{2}+V\right)\psi }$

Phương trình Schrödinger có nhiều dạng khác nhau, tùy thuộc vào các điều kiện khác nhau của hệ vật lý. Mục này nhằm mục đích giới thiệu phương trình Schrödinger cho trường hợp tổng quát và cho các trường hợp đơn giản hơn thường gặp.

Hệ lượng tử tổng quát

Đối với một hệ lượng tử tổng quát:

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,\,t)={\hat {H}}\Psi (\mathbf {r} ,t)}$

trong đó

• ${\displaystyle i}$ là đơn vị ảo
• ${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}$ là hàm sóng, biên độ xác suất cho các cấu hình khác nhau của hệ
• ${\displaystyle \hbar }$ là hằng số Planck thu gọn (thường được chuẩn hóa về đơn vị trong các hệ đơn vị tự nhiên)
• ${\displaystyle {\hat {H}}}$ là toán tử Hamilton.

Trường hợp một hạt trong không gian ba chiều

Đối với một hệ gồm một hạt trong ba chiều:

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,\,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,\,t)+V(\mathbf {r} )\Psi (\mathbf {r} ,\,t)}$

trong đó

• ${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)}$ là tọa độ của hạt trong không gian ba chiều,
• ${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}$ là hàm sóng, biên độ xác suất để hạt có một tọa độ xác định r ở một thời điểm xác định bất kì t.
• ${\displaystyle m}$ là khối lượng của hạt.
• ${\displaystyle V(\mathbf {r} )}$ là thế năng không phụ thuộc thời gian của hạt ở tọa độ r.
• ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ là toán tử Laplace.

Xây dựng phương trình

Các giả thiết

(1)Năng lượng toàn phần E của một hạt

${\displaystyle E=T+V={\frac {p^{2}}{2m}}+V}$

Đây là biểu thức cổ điển cho một hạt có khối lượng m trong đó năng lượng toàn phần E là tổng của động năng, ${\displaystyle T={\frac {p^{2}}{2m}}}$, và thế năng V. Xung lượng của hạt là p, hay tích của khối lượng và vận tốc. Thế năng là một hàm biến đổi theo vị trí và cũng có thể biến đổi cả theo thời gian.

Chú ý rằng năng lượng E và xung lượng p xuất hiện trong các hệ thức sau:

(2) Giả thuyết về lượng tử ánh sáng của Max Planck năm 1905, khẳng định rằng năng lượng của một photon tỷ lệ với tần số của sóng điện từ tương ứng:

${\displaystyle E=hf={h \over 2\pi }(2\pi f)=\hbar \omega \;}$

trong đó tần số f và năng lượng E của lượng tử ánh sáng (photon) được liên hệ bởi hăng số Planck h,

và ${\displaystyle \omega =2\pi f\;}$ là tần số góc của sóng.

(3) Giả thuyết de Broglie năm 1924, phát biểu rằng bất kì một hạt nào cũng có thể liên quan đến một sóng, được biểu diễn một cách toán học bởi hàm sóng Ψ, và xung lượng p của hạt được liên hệ với bước sóng λ của sóng liên kết bởi hệ thức:

${\displaystyle p={h \over \lambda }={h \over 2\pi }{2\pi \over \lambda }=\hbar k\;}$

trong đó ${\displaystyle \lambda \,}$ là bước sóng và ${\displaystyle k=2\pi /\lambda \;}$ là hằng số sóng hay số sóng góc.

Biểu diễn p and k như là những vector, chúng ta có

${\displaystyle \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} \;}$

(4) Giả thiết rằng phương trình sóng phải là tuyến tính. Ba giả thuyết ở trên cho phép chúng ta có thể xây dựng được phương trình cho các sóng phẳng. Để kết luận rằng phương trình đó cũng đúng cho một trường hợp tổng quát bất kì đòi hỏi hàm sóng phải tuân theo nguyên lý chồng chất trạng thái.

Phương trình cho sóng phẳng đơn sắc

Schrödinger đã có một cách nhìn sâu sắc, vào cuối năm 1925, đó là phải biểu diễn pha của một sóng phẳng như là một thừa số pha phức:

${\displaystyle \Psi (\mathbf {x} ,t)=Ae^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega t)}}$

và nhận ra rằng vì

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi =-i\omega \Psi }$

nên

${\displaystyle E\Psi =\hbar \omega \Psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi }$

và tương tự vì

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\Psi =ik_{x}\Psi }$

và

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi =-k_{x}^{2}\Psi }$

chúng ta tìm ra:

${\displaystyle p_{x}^{2}\Psi =(\hbar k_{x})^{2}\Psi =-\hbar ^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi }$

do đó, đối với sóng phẳng, ta được:

${\displaystyle p^{2}\Psi =(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2})\Psi =-\hbar ^{2}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\Psi =-\hbar ^{2}\nabla ^{2}\Psi }$

Và bằng cách thế những biểu thức cho năng lượng và xung lượng này vào công thức cổ điển ${\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m}}+V}$ chúng ta thu được phương trình nổi tiếng của Schrödinger cho trường hợp một hạt trong không gian ba chiều với sự có mặt của một trường thế năng V:

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +V\Psi }$

Phương trình này đã được tổng quát hóa thành một tiên đề của cơ học lượng tử, nghĩa là coi nó là đúng cho mọi trường hợp mà không thể chứng minh được bằng lý thuyết mà chỉ có thể kiểm chứng bằng thực nghiệm. Phương trình Schrödinger đã đưa ra được nhiều tiên đoán phù hợp với thực tế và được kiểm định là đúng cho vô số trường hợp khác nhau.

Xem thêm

• Erwin Schrödinger
• Con mèo của Schrödinger

Chú thích

Tham khảo

• Paul Adrien Maurice Dirac (1958). The Principles of Quantum Mechanics (ấn bản 4). Oxford University Press.
• David J. Griffiths (2004). Introduction to Quantum Mechanics (ấn bản 2). Benjamin Cummings.
• David Halliday (2007). Fundamentals of Physics (ấn bản 8). Wiley.

Liên kết ngoài

• Vật lý lượng tử Lưu trữ 2012-03-07 tại Wayback Machine
• Phương trình Schrödinger trong một chiều Lưu trữ 2006-05-24 tại Wayback Machine
• Hazewinkel, Michiel biên tập (2001), “Schrödinger_equation”, Bách khoa toàn thư Toán học, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4