I-đê-an

Cấu trúc đại số → Lý thuyết vành Lý thuyết vành
Khái niệm cơ bản Vành Vành con Ideal Vành thương Ideal phân số Vành thương toàn phần Vành tích Tích tenxơ của vành Đồng cấu vành Nhân Tự đẳng cấu trong Tự đồng cấu Frobenius Cấu trúc đại số Môđun Đại số kết hợp Vành phân bậc Vành tự nghịch đảo Phạm trù của vành Vành đầu và vành cuối Cấu trúc liên quan Trường Trường hữu hạn Vành không kết hợp Vành Lie Vành Jordan Nửa vành Nửa trường
Đại số giao hoán Vành giao hoán Miền nguyên Miền đóng nguyên Miền GCD Miền nhân tử hóa Miền ideal chính Miền Euclid Trường Vành hợp Vành đa thức Vành chuỗi lũy thừa chính quy Lý thuyết số đại số Trường số đại số Vành số nguyên Độc lập đại số Lý thuyết số siêu việt Bậc siêu việt Lý thuyết số p-adic và số thập phân Giới hạn trực tiếp/Giới hạn nghịch đảo Vành không ${\displaystyle \mathbb {Z} _{1}}$ Số nguyên môđun pn ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ Vành p Prüfer ${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$ Vành đường tròn cơ số p ${\displaystyle \mathbb {T} }$ Số nguyên cơ số p ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ Số thực cơ số p ${\displaystyle \mathbb {R} }$ Số nguyên p-adic ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ Số p-adic ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ Solenoid p-adic ${\displaystyle \mathbb {T} _{p}}$ Hình học đại số Đa tạp afin
Đại số không giao hoán Vành không giao hoán Vành chia Vành nửa nguyên thủy Vành đơn Giao hoán tử Hình học đại số không giao hoán Đại số tự do Đại số Clifford Đại số hình học Đại số toán tử
x t s

Trong lý thuyết vành, một nhánh của đại số trừu tượng, i-đê-an là một khái niệm tổng quá hóa khái niệm bội số.

Định nghĩa

Đối với một vành tùy ý ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$, ký hiệu cho ${\displaystyle (R,+)}$ là nhóm cộng nền của nó. Một tập hợp con ${\displaystyle I}$ được gọi là i-đê-an trái nếu:

1. ${\displaystyle (I,+)}$ là một nhóm con của ${\displaystyle (R,+),}$
2. Với mọi ${\displaystyle r\in R}$ và ${\displaystyle x\in I}$, tích ${\displaystyle rx}$ thuộc ${\displaystyle I}$.

Tương tự, ta có thể định nghĩa i-đê-an phải và i-đê-an hai phía.

Một i-đê-an (không có giải thích thêm) thông thường được ngầm hiểu là một i-đê-an trái hoặc một i-đê-an hai phía, tùy ngữ cảnh.

Ví dụ

• Trong vành R, chính tập hợp R tạo thành một i-đê-an hai phía. Nó là i-đê-an chính ${\displaystyle (1)}$, được gọi là i-đê-an đơn vị.
• Một i-đê-an khác đơn vị được gọi là một i-đê-an đích thực (giống như là tập con đích thực).^[1]
• Các số chẵn tạo thành một i-đê-an của vành các số nguyên ${\displaystyle \mathbb {Z} }$; nó thường được ký hiệu là ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$. Tương tự, i-đê-an các bội số của một số nguyên ${\displaystyle n}$ được ký hiệu là ${\displaystyle n\mathbb {Z} }$.
• Tập hợp tất cả các đa thức chia hết cho x² + 1 là một i-đê-an chính của vành đa thức.
• Tập hợp các ma trận ${\displaystyle n\times n}$ với hàng dưới cùng bằng ${\displaystyle 0}$ là một i-đê-an phải của vành ma trận. Nó không phải là một i-đê-an trái.
• Vành ${\displaystyle C(\mathbb {R} )}$ các hàm liên tục f từ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ vào ${\displaystyle \mathbb {R} }$ chứa i-đê-an các hàm số f sao cho f(1) = 0 (i-đê-an các hàm số triệt tiêu tại 1; đây là một i-đê-an tối đại).

Tính chất

Ta có một loạt các loại i-đê-an như sau.

• I-đê-an tối đại: Một i-đê-an đích thực I được gọi là i-đê-an tối đại nếu nó không có i-đê-an đích thực nào chứa nó. Tức là, tồn tại một và chỉ một i-đê-an chứa I: i-đê-an đơn vị. Nó là một phần tử tối đại trong lớp các i-đê-an đích thực (với thứ tự cảm sinh bởi quan hệ bao hàm). Lớp này khác rỗng bởi luôn tồn tại một i-đê-an đích thực: i-đê-an ${\displaystyle (0)}$. Theo bổ đề Zorn, tồn tại ít nhất một i-đê-an tối đại trong một vành (ta xây dựng chặn trên bằng phép hợp).
• I-đê-an tối tiểu: Một i-đê-an là tối tiểu nếu nó khác i-đê-an ${\displaystyle (0)}$ và nó chỉ chứa duy nhất i-đê-an ${\displaystyle (0)}$ (và chính nó).
• I-đê-an nguyên tố.
• I-đê-an gốc hoặc i-đê-an bán nguyên tố.
• I-đê-an sơ cấp.
• I-đê-an chính
• I-đê-an hữu hạn sinh.
• I-đê-an nguyên thủy.
• I-đê-an bất khả quy.
• I-đê-an chính quy.
• I-đê-an lũy linh đơn: một i-đê-an là lũy linh đơn nếu mỗi phần tử của nó là lũy linh.
• I-đê-an lũy linh: một i-đê-an là lũy linh nếu một lũy thừa hữu hạn của nó bằng 0.

Một i-đê-an của một vành ${\displaystyle R}$ được trang bị một cấu trúc ${\displaystyle R}$-mô-đun tự nhiên.

Phép toán i-đê-an

Tổng và tích của các i-đê-an được định nghĩa như sau

${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}:=\{a+b\mid a\in {\mathfrak {a}}{\mbox{ và }}b\in {\mathfrak {b}}\}}$,

${\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}:=\{a_{1}b_{1}+\dots +a_{n}b_{n}\mid a_{i}\in {\mathfrak {a}}{\text{ và }}b_{i}\in {\mathfrak {b}},i=1,2,\dots ,n;{\text{ với }}n=1,2,\dots \},}$

Ví dụ

Trong ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ta có

${\displaystyle (n)\cap (m)=\operatorname {bcnn} (n,m)\mathbb {Z} }$

Đặt ${\displaystyle R=\mathbb {C} [x,y,z,w]}$ và ${\displaystyle I=(z,w),{\text{ }}J=(x+z,y+w),{\text{ }}K=(x+z,w)}$. Thế thì,

• ${\displaystyle I+J=(z,w,x+z,y+w)=(x,y,z,w)}$ và ${\displaystyle I+K=(z,w,x+z)}$
• ${\displaystyle IJ=(z(x+z),z(y+w),w(x+z),w(y+w))=(z^{2}+xz,zy+wz,wx+wz,wy+w^{2})}$
• ${\displaystyle IK=(xz+z^{2},zw,xw+zw,w^{2})}$
• ${\displaystyle I\cap J=IJ}$ trong khi ${\displaystyle I\cap K=(w,xz+z^{2})\neq IK}$

Xem thêm

• Số học mô-đun
• Định lý đẳng cấu Noether
• Định lý i-đê-an nguyên tố Boolean
• Lý thuyết i-đê-an
• I-đê-an (lý thuyết thứ tự)
• Định chuẩn i-đê-an
• Phân tách các i-đê-an nguyên tố trong phần mở rộng Galois
• Bó i-đê-an

Tham khảo

• Atiyah, M. F. và Macdonald, I.G., Introduction to Commutative Algebra, 1969, ISBN 0-201-00361-9
• Lang, Serge (2005), Undergraduate Algebra (tái bản lần thứ ba), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-22025-3