Pauli matrisleri 2 × 2' lik, karmaşık sayılar içeren Hermisyen ve üniter matrislerden oluşan bir settir. Genellikle Yunan alfabesindeki 'sigma' (σ), harfiyle sembolize edilirler. Bu matrisler:
![{\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6111259759e352a80ed9a22a469360b323ccd00e)
![{\displaystyle \sigma _{2}=\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/349199cc9cbfaafee4c951022c4738d9199f9d31)
![{\displaystyle \sigma _{3}=\sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1325f6de2349e879e8de171d4b4ca53a725fe90)
İsim onları bulan Wolfgang Pauli' den gelmektedir.
Özellikler
I birim matris olmak üzere.
![{\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{3}^{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b80117184144a4ccf202c4f57495f3d23211f985)
- Pauli matrislerinin determinant ve izleri:
![{\displaystyle {\begin{matrix}\det(\sigma _{i})&=&-1&\\[1ex]\operatorname {Tr} (\sigma _{i})&=&0&\quad \ i=1,2,3\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09e7edd2b62d9090d87ed67ea4f78dadc781a950)
Dolayısıyla bu matrislerin özdeğerlerinin σi ±1 olduğu açıkça görülebilir.
- Birim matris I (bazen σ0 olarak da gösterilir) ile birlikte Pauli matrisleri gerçel Hilbert uzayında, 2 × 2 karmaşık Hermisyen matrisler olarak veya kompleks Hilbert uzayında 2 × 2 matrisler olarak orthogonal (birbirine dik ve normalize) bir baz oluştururlar.
Komutasyon bağıntıları
![{\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{2}=i\sigma _{3}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f14a48c2491aa6784a709e23541bfd11f2e3fa7)
![{\displaystyle \sigma _{3}\sigma _{1}=i\sigma _{2}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6a9de5c8ab1b7dfdb8d6225eb27c9fc254d5e0c)
![{\displaystyle \sigma _{2}\sigma _{3}=i\sigma _{1}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffb2091f6c488d21063eb945309b3c784a64e925)
![{\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=-\sigma _{j}\sigma _{i}\quad i\neq j\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4d35c54821b625f977f900a6ada5017fb428361)
- Yukarıdaki ifadeler kullanılarak
Levi-Civita sembolü,
Kronecker delta ve I is the birim matris olmak üzere şu komutasyon ve anti komutasyon ilişkileri elde edilir:
![{\displaystyle {\begin{matrix}[\sigma _{i},\sigma _{j}]&=&2i\,\varepsilon _{ijk}\,\sigma _{k}\\[1ex]\{\sigma _{i},\sigma _{j}\}&=&2\delta _{ij}\cdot I\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/450cfd37e7d4f2865b026fdc3b145dbdb9be1d0b)
Yukarıdaki bağıntılar şöyle özetlenebilir:
.
Pauli vektörü şu şekilde tanımlıdır:
![{\displaystyle {\vec {\sigma }}=\sigma _{1}{\hat {x}}+\sigma _{2}{\hat {y}}+\sigma _{3}{\hat {z}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de267c4e8bff649034e617cf947fd52c39a0f539)
Bu komutasyon bağıntıları ve pauli vektör tanımı kullanılarak aşağıdaki ifadeler elde edilebilir:
![{\displaystyle ({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})({\vec {b}}\cdot {\vec {\sigma }})={\vec {a}}\cdot {\vec {b}}+i{\vec {\sigma }}\cdot ({\vec {a}}\times {\vec {b}})\quad \quad \quad \quad (1)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eacc729b793253c334a4fe8f74af3dc25d0f285b)
- (a ve b vektörleri pauli matrisleriyle değişme özelliğine sahip olması durumunda)
- en genel tanımıyla
olarak verilen bir a vektörü için ![{\displaystyle e^{i({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})}=\cos {a}+i({\hat {n}}\cdot \sigma )\sin {a}\quad \quad \quad \quad \quad \quad (2)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5be296a95b27dabd1a2d3a107901603d15af16c)
(2)' nin ispatı
Çift kuvvetler için
![{\displaystyle ({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2n}=I\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f8a3c68d87f099fd686fa937115724d2fac91b6)
tek kuvvetler için
![{\displaystyle ({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2n+1}={\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23040fe44dfefbb923e994ee9c4ce12316b57a71)
Üstel açılımının çift ve tek kuvvetlerinin sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının Taylor açılımlarını verdiği anımsanırsa:
| |
| |
yerine koyularak
![{\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(a{\hat {n}}\cdot \sigma )^{2n}}{2n!}}+i\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(a{\hat {n}}\cdot \sigma )^{2n+1}}{(2n+1)!}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fcfd4e98eb856e937d987614808669d4f4b19f0)
![{\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}a^{2n}}{2n!}}+i({\hat {n}}\cdot \sigma )\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}a^{2n+1}}{(2n+1)!}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15ef9d91fa04f6b12559b6265e5e67c94b4ea8ac)
sonuçta,
![{\displaystyle e^{ia({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})}=\cos {a}+i({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})\sin {a}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bee452ca4bcd6837950855264f9d2ba1bc8c1dfa)
ifadesine ulaşılır.
Fizik
Kuantum mekaniğinde Pauli matrisleri spin ½ sistemlerin spinlerini konum uzayında betimler. Sistemin durumu iki bileşenli bir spinörle ifade edilir. Spin operatörleri bu matrislerle verilirler.
Pauli matrislerinin özdeğerlerinin ±1 olması spin operatörlerinin özdeğerlerinin
olması, dolayısıyla bir eksen yönünde yapılan spin ½ sistemin spininin iki değerden birini alması anlamına gelir. Bu konuyla daha kapsamlı bilgi için Stern-Gerlach deneyi incelenebilir.