D'Alembert işleci

D'Alembert işlemcisi, özel görelilikte, elektromanyetizmada ve dalga kuramında; Minkowski uzayını ve Einstein alan denklemlerinin diğer çözümlerini sağlayan Laplace işlemcisine d'Alembert işlemcisi veya dalga işlemcisi denir.

İşlemci, ${\displaystyle \square }$ ya da ${\displaystyle \square ^{2}}$ olarak da gösterilebilir. Kare olmasının nedeni 4 boyutlu Minkowski uzayını temsil ediyor olmasıdır. Aynı şekilde Laplace işlemcisindeki ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ simgesi de 3 boyutlu uzayı temsil etmektedir. Kuantum alan kuramında daha çok ${\displaystyle \partial ^{2}}$ gösterimi yeğlenir.

Tanım

Minkowski uzayında d'Alembert işlemcisinin açık tanımı, c ışık hızı olmak üzere,

${\displaystyle \square ={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}}$

şeklindedir. Burada açıkça görüleceği gibi uzay 4 boyutludur. Ancak sâdelik adına (x,y,z,t) koordinatları yerine (x,y,z,ict) seçilerek,

${\displaystyle \square ={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial (ict)^{2}}}$

biçimine dönüşür. Burada i sanal birim]dir.

Einstein toplam uzlaşımı ile ${\displaystyle \mu ={0,1,2,3}={ict,x,y,z}}$ koordinatlar ve ${\displaystyle \partial _{\mu }={\partial \over \partial x_{\mu }}}$ türevler olmak üzere d'Alembert işlemcisi,

${\displaystyle \square =\partial ^{2}=\partial ^{\mu }\partial _{\mu }=\eta ^{\nu \mu }\partial _{\nu }\partial _{\mu }}$

olarak ifâde edilebilir ki burada ${\displaystyle \eta ^{\nu \mu }}$ Minkowski metriğidir.

Ayrıca Laplace işlemcisi ile de tanımlanabilir:

${\displaystyle \square =\nabla ^{2}-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}}$

Fizikte d'Alembert işlemcisi

Dalga denklemi, d'Alembert işlemcisi ile ifâde edilebilir:

${\displaystyle \square \Psi =0}$

burada ${\displaystyle \Psi }$ dalga fonksiyonudur.