Cauchy dizisi

Cauchy dizisi tanımı

${\displaystyle (x_{n})_{n}}$ bir gerçel sayı dizisi olsun. Eğer her ${\displaystyle \epsilon >0}$ için,

${\displaystyle |x_{n}-x_{m}|<\epsilon }$ eşitsizliğinin her ${\displaystyle n,m>N}$ (${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$) için sağlandığı bir ${\displaystyle N}$ göstergeci varsa, ${\displaystyle (x_{n})_{n}}$ dizisine Cauchy dizisi denir.

Cauchy dizisi ile ilgili teoremler

Her yakınsak dizi Cauchy dizisidir

İspat:

${\displaystyle (x_{n})_{n}}$ yakınsak bir gerçel sayı dizisi ve ${\displaystyle \epsilon >0}$ herhangi bir pozitif gerçel sayı olsun. Dizinin limitine ${\displaystyle a}$ diyelim. Demek ki, öyle bir ${\displaystyle N}$ doğal sayısı vardır ki, her ${\displaystyle n>N}$ için,

${\displaystyle |x_{n}-a|<{\dfrac {\epsilon }{2}}}$ olur. Dolayısıyla, ${\displaystyle n,m>N}$ için, ${\displaystyle |x_{n}-x_{m}|=|(x_{n}-a)-(x_{m}-a)|\leq |x_{n}-a|+|x_{m}-a|<{\dfrac {\epsilon }{2}}+{\dfrac {\epsilon }{2}}=\epsilon }$ olur ve kanıt biter ${\displaystyle \Box }$.

Her Cauchy dizisi sınırlıdır

İspat:

${\displaystyle (x_{n})_{n}}$ bir Cauchy dizisi olsun. Tanımdaki ${\displaystyle \epsilon }$'u, ${\displaystyle \epsilon =1}$ seçelim. Demek ki, öyle bir ${\displaystyle N}$ göstergeci vardır ki, her ${\displaystyle n,m>N}$ için,

${\displaystyle |x_{n}-x_{m}|<1}$ olur. Demek ki, her ${\displaystyle n>N}$ için, ${\displaystyle |x_{n}-x_{N+1}|}$ olur; bir başka deyişle,

${\displaystyle x_{N+1}-1<x_{n}<x_{N+1}+1}$ olur.

${\displaystyle b=\max\{x_{0},x_{1},...,x_{N},x_{N+1}+1\}}$ ve ${\displaystyle a=\min\{x_{0},x_{1},...,x_{N},x_{N+1}-1\}}$ diye tanımlayalım.

O zaman, her için, ${\displaystyle a<x_{n}<b}$ olur ve ispat biter ${\displaystyle \Box }$.

Bir Cauchy dizisinin her altdizisi Cauchy'dir

İspat:

${\displaystyle (x_{n})_{n}}$, bir Cauchy dizisi, ${\displaystyle (x_{n_{k}})_{k}}$ dizisi de bu dizinin altdizisi olsun.${\displaystyle \epsilon >0}$ herhangi bir sayı olsun.Öyle bir ${\displaystyle N}$ var ki, her ${\displaystyle n,m>N}$ için, ${\displaystyle |x_{n}-x_{m}|<\epsilon }$ dir.

Eğer ${\displaystyle k,l>N}$ ise ${\displaystyle N<k\leq n_{k}}$ ve ${\displaystyle N<l\leq n_{l}}$ olduğundan, ${\displaystyle |x_{n_{k}}-x_{n_{l}}|<\epsilon }$ olur. ${\displaystyle \Box }$.

Bir Cauchy dizisinin bir altdizisi yakınsaksa dizinin kendisi de yakınsaktır ve her iki dizi de aynı limite yakınsar

İspat:

${\displaystyle (x_{n})_{n}}$ Cauchy dizisi olsun ve ${\displaystyle (x_{n_{k}})_{k}}$ bu dizinin altdizisi olsun. Teoremde belirtildiği üzere bu altdizi yakınsakmış (diyelim ki "${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$" ya yakınsasın), tanımı yazarsak,

${\displaystyle n_{k},k>N}$ ve ${\displaystyle \forall \epsilon >0}$ için ${\displaystyle |x_{n_{k}}-a|<\epsilon /2}$ önermesi doğrudur. Kanıtlamak istediğimiz ${\displaystyle \forall \epsilon >0}$ için ${\displaystyle |x_{n}-a|<\epsilon }$ önermesi olduğundan bu önermeyi açalım;

${\displaystyle |x_{n}-a|=|(x_{n}-x_{n_{k}})+(x_{n_{k}}-a)|\leq \underbrace {|x_{n}-x_{n_{k}}|} _{1}+\underbrace {|x_{n_{k}}-a|} _{2}}$

2. ifade altdizinin tanımından dolayı ${\displaystyle \epsilon /2}$'den küçüktür,

1. ifade ise, ${\displaystyle n_{k}>n>N}$ olduğundan bir Cauchy dizisidir ve ${\displaystyle |x_{n}-x_{n_{k}}|<\epsilon /2}$ olarak doğrudur.

İspatlamak istediğimiz ifadeyi tekrar yazarsak,

${\displaystyle n_{k}>n>N}$ ve ${\displaystyle \forall \epsilon >0}$ için ${\displaystyle |x_{n}-a|\leq |x_{n}-x_{n_{k}}|+|x_{n_{k}}-a|<\epsilon /2+\epsilon /2=\epsilon }$

ve ispat biter ${\displaystyle \Box }$.

Her Cauchy dizisinin ${\displaystyle \mathbb {R} }$'de bir limiti vardır

İspat: ${\displaystyle (x_{n})_{n}}$ verilmiş bir Cauchy dizisi olsun.(Yukarıdaki teoremleri ve verilen kaynaklardaki teoremleri kullanarak.)

1. ${\displaystyle (x_{n})_{n}}$'nin monoton bir ${\displaystyle (y_{n})_{n}}$ altdizisi bulunur.
2. ${\displaystyle (x_{n})_{n}}$ bir Cauchy dizisi olduğundan sınırlıdır.^[1] Demek ki ${\displaystyle (y_{n})_{n}}$ altdizisi de sınırlıdır.
3. Monoton ve sınırlı olduğundan, ${\displaystyle (y_{n})_{n}}$ dizisi yakınsaktır.^[2]
4. ${\displaystyle 1,2,3}$ maddelerden, ${\displaystyle (x_{n})_{n}}$ dizisinin yakınsak olduğu görülür.^[3]

Dolayısıyla, ${\displaystyle \mathbb {R} }$ tamdır ve ispat biter. ${\displaystyle \Box }$.

Formal ispat:

${\displaystyle \mathbb {R} }$'de (hatta metrik uzaylarda) yakınsak her dizinin bir Cauchy dizisi olduğunu göstermek kolay. Bu yüzden ${\displaystyle \mathbb {R} }$'deki herhangi bir Cauchy dizisinin yakınsak olduğunu gösterirsek ispat biter. Burada gerçel sayılar kümesi üzerinde alışılmış metriğin olduğunu varsayıyoruz. Farklı metrikler söz konusu olduğunda iddia doğru olmayabilir.

${\displaystyle (x_{n})_{n},\ \mathbb {R} }$'de bir Cauchy dizisi ve ${\displaystyle \epsilon >0}$ olsun.

${\displaystyle \left.{\begin{array}{rr}(x_{n})_{n}\in \mathbb {R^{N}} {\text{ Cauchy dizisi}}\\\epsilon >0\end{array}}\right\}\Rightarrow (\exists N(\epsilon )\in \mathbb {N} )(\forall n,m\geq N(\epsilon ))\left(|x_{n}-x_{m}|<{\frac {\epsilon }{2}}\right)}$

${\displaystyle \Rightarrow (\exists N(\epsilon )\in \mathbb {N} )(\forall n\geq N(\epsilon ))\left(|x_{n}-x_{N(\epsilon )}|<{\dfrac {\epsilon }{2}}\right)}$

${\displaystyle \Rightarrow (\exists N(\epsilon )\in \mathbb {N} )(\forall n\geq N(\epsilon ))\left(x_{N(\epsilon )}-{\dfrac {\epsilon }{2}}<x_{n}<x_{N(\epsilon )}+{\dfrac {\epsilon }{2}}\right)}$

${\displaystyle \Rightarrow (\exists N(\epsilon )\in \mathbb {N} )(\forall n\geq N(\epsilon ))\left(x_{n}\in A:=\left(x_{N(\epsilon )}-{\dfrac {\epsilon }{2}},x_{N(\epsilon )}+{\dfrac {\epsilon }{2}}\right)\right)}$

${\displaystyle \Rightarrow (\exists N(\epsilon )\in \mathbb {N} )(\forall n\geq N(\epsilon ))\left(x_{n}\in B_{N}:=\left\{x_{N(\epsilon )},x_{N(\epsilon )+1},x_{N(\epsilon )+2},...\right\}\subseteq A\right)}$

${\displaystyle \Rightarrow (\exists N(\epsilon )\in \mathbb {N} )(\forall n\geq N(\epsilon ))(|B_{N}|\leq \aleph _{0})\left(x_{N(\epsilon )}-{\dfrac {\epsilon }{2}}\in B_{N}^{l}\neq \emptyset \right)\left(x_{N(\epsilon )}+{\dfrac {\epsilon }{2}}\in B_{N}^{u}\neq \emptyset \right)}$

${\displaystyle \Rightarrow (\exists N(\epsilon )\in \mathbb {N} )(\forall n\geq N(\epsilon ))(\exists x\in \mathbb {R} )(x=\sup {B_{N}})\left(x_{N(\epsilon )}-{\dfrac {\epsilon }{2}}\leq x\leq x_{N(\epsilon )}+{\dfrac {\epsilon }{2}}\right)}$

${\displaystyle \Rightarrow (\exists N(\epsilon )\in \mathbb {N} )(\forall n\geq N(\epsilon ))\left(|x-x_{N(\epsilon )}|\leq {\dfrac {\epsilon }{2}}\right)}$

${\displaystyle \Rightarrow (\exists N(\epsilon )\in \mathbb {N} )(\forall n\geq N(\epsilon ))\left(|x_{n}-x|\leq |x_{n}-x_{N(\epsilon )}|+|x_{N(\epsilon )}-x|<{\dfrac {\epsilon }{2}}+{\dfrac {\epsilon }{2}}=\epsilon \right).}$ ${\displaystyle \Box }$

Kaynakça

Dipnotlar

https://web.archive.org/web/20170111210130/http://www.acikders.org.tr/course/view.php?id=22

Apostol-Mathematical_Analysis[Tom_M.Apostol] Second_Edition.

Temel Analiz(Analiz I(Bir))-[Ali Nesin]

http://matkafasi.com/20940/ustten-sinirli-ve-artan-bir-dizinin-limiti-vardir 16 Nisan 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.

http://matkafasi.com/106636/dizisinin-mathbb-limiti-vardir-yakinsak-cauchy-dizisidir 31 Temmuz 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.