Cevian

Inom geometrin betecknar en cevian ett linjesegment i en triangel som går från ett av hörnen till den motstående sidan (eller dess förlängning). Exempel på cevianer är bisektriser, höjder och medianer.^[1]

Namnet kommer från den italienske ingenjören Giovanni Ceva (1648-1737) som 1678 publicerade det vi idag kallar Cevas sats i De lineis rectis se invicem secantibus statica constructio.^[2]

Längd

Allmänt kan en cevians längd beräknas enligt Stewarts sats (beteckningar enligt figur 2).

${\displaystyle d={\sqrt {{\frac {mb^{2}+nc^{2}}{a}}-mn}}}$

Median

Om cevianen är en median är ${\displaystyle m=n={\frac {a}{2}}}$, vilket reducerar Stewarts sats till Apollonios sats

${\displaystyle d={\sqrt {{\frac {b^{2}+c^{2}}{2}}-m^{2}}}={\sqrt {\frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}}}$

Bisektris

Är cevianen en bisektris ges längden av

${\displaystyle d={\sqrt {bc-mn}}}$

eller

${\displaystyle d={\frac {2bc}{b+c}}\cos {\frac {\alpha }{2}}}$. med ${\displaystyle \alpha =\angle bc}$

eller

${\displaystyle d={\frac {2\cdot {\sqrt {bcs(s-a)}}}{b+c}}}$, med semiperimetern ${\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}$.

Höjd

Är cevianen en höjd ges dess längd antingen av Pythagoras sats enligt

${\displaystyle \,d={\sqrt {b^{2}-n^{2}}}={\sqrt {c^{2}-m^{2}}}}$

eller av

${\displaystyle d={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{a}}}$, med semiperimetern ${\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}$.

Cevianer med gemensam skärningspunkt

För tre cevianer som skär varandra i en gemensam inre punkt gäller allmänt följande samband mellan delningsförhållanden (beteckningar enligt figur 3):^[3]

${\displaystyle {\frac {\vec {AF}}{\vec {FB}}}\cdot {\frac {\vec {BD}}{\vec {DC}}}\cdot {\frac {\vec {CE}}{\vec {EA}}}=1}$ (Cevas sats)

${\displaystyle {\frac {\vec {AO}}{\vec {OD}}}={\frac {\vec {AE}}{\vec {EC}}}+{\frac {\vec {AF}}{\vec {FB}}}}$

${\displaystyle {\frac {\vec {OD}}{\vec {AD}}}+{\frac {\vec {OE}}{\vec {BE}}}+{\frac {\vec {OF}}{\vec {CF}}}=1}$

${\displaystyle {\frac {\vec {AO}}{\vec {AD}}}+{\frac {\vec {BO}}{\vec {BE}}}+{\frac {\vec {CO}}{\vec {CF}}}=2}$

De två sista uttrycken är komplementära, eftersom om vi adderar vänsterleden får

${\displaystyle {\frac {{\vec {AO}}+{\vec {OD}}}{\vec {AD}}}+{\frac {{\vec {BO}}+{\vec {OE}}}{\vec {BE}}}+{\frac {{\vec {CO}}+{\vec {OF}}}{\vec {CF}}}={\frac {\vec {AD}}{\vec {AD}}}+{\frac {\vec {BE}}{\vec {BE}}}+{\frac {\vec {CF}}{\vec {CF}}}=1+1+1=3}$

De tre höjderna skär varandra i triangelns ortocentrum. De tre bisektriserna skär varandra in den inskrivna cirkelns medelpunkt. De tre medianerna skär varandra i (den geometriska) tyngdpunkten.^[4] De tre cevianer som delar omkretsen i två lika delar (en sådan cevian kallas "splitter" på engelska) skär varandra i Nagels punkt.^[5] De tre symmedianerna skär varandra i symmedianpunkten (även kallad Lemoines punkt eller Grebes punkt).^[6]

Referenser