Cayleys sats

Cayleys sats är en matematisk sats inom gruppteori uppkallad efter Arthur Cayley som säger att varje grupp är isomorf med någon permutationsgrupp.[1] En följd av Cayleys sats är att allt som gäller för permutationsgrupper gäller för grupper i allmänhet.

Bevis

Beviset för Cayleys sats går ut på att det finns en undergrupp till den symmetriska gruppen på G {\displaystyle G} , betecknad S G {\displaystyle S_{G}} , som är isomorf med G {\displaystyle G} .

Tag ett a G {\displaystyle a\in G} och definiera en avbildning f a : G G {\displaystyle f_{a}:G\to G} som f a ( g ) = a g {\displaystyle f_{a}(g)=ag} för alla g G {\displaystyle g\in G} . Bilda H = { f a : a G } {\displaystyle H=\{f_{a}:a\in G\}} , som är en delmängd till S G {\displaystyle S_{G}} . H {\displaystyle H} är en grupp med funktionssammansättning som gruppoperation:

f a f b ( g ) = f a ( f b ( g ) ) = f a ( b g ) = a b g = f a b ( g ) {\displaystyle f_{a}f_{b}(g)=f_{a}(f_{b}(g))=f_{a}(bg)=abg=f_{ab}(g)}

dvs, f a f b = f a b {\displaystyle f_{a}f_{b}=f_{ab}} . Det neutrala elementet ε S G {\displaystyle \varepsilon \in S_{G}} ligger i H {\displaystyle H} eftersom ε = f 1 G {\displaystyle \varepsilon =f_{1_{G}}} . Inversen till f a {\displaystyle f_{a}} ges av f a 1 {\displaystyle f_{a^{-1}}} . Detta ger att H {\displaystyle H} är en grupp, specifikt en delgrupp till S G {\displaystyle S_{G}} .

Gruppen H {\displaystyle H} är i själva verket isomorf med G {\displaystyle G} , ty ϕ : G H {\displaystyle \phi :G\to H} definierad som ϕ ( a ) = f a {\displaystyle \phi (a)=f_{a}} är en isomorfi:

ϕ {\displaystyle \phi } är injektiv, ty om ϕ ( a ) = ϕ ( b ) {\displaystyle \phi (a)=\phi (b)} är f a = f b {\displaystyle f_{a}=f_{b}} som ger f a ( 1 G ) = f b ( 1 G ) a = b {\displaystyle f_{a}(1_{G})=f_{b}(1_{G})\Leftrightarrow a=b} .
Att ϕ {\displaystyle \phi } är surjektiv följer ur definitionen.
Att ϕ {\displaystyle \phi } är en grupphomomorfi, dvs att ϕ ( a ) ϕ ( b ) = ϕ ( a b ) {\displaystyle \phi (a)\phi (b)=\phi (ab)} följer ur f a f b = f a b {\displaystyle f_{a}f_{b}=f_{ab}} .

De tre egenskaperna ovan ger att ϕ {\displaystyle \phi } är en isomorfi. Alltså är gruppen G {\displaystyle G} isomorf med permutationsgruppen H {\displaystyle H} , vilket bevisar Cayleys sats.

Generalisering

Cayleys sats kan generaliseras. Om H {\displaystyle H} är en delgrupp till G {\displaystyle G} med index [ G : H ] = n {\displaystyle [G:H]=n} så finns en homomorfi φ : G S n {\displaystyle \varphi :G\to S_{n}} där S n {\displaystyle S_{n}} är den symmetriska gruppen med n {\displaystyle n} element sådan att ϕ {\displaystyle \phi } :s kärna är en delgrupp till H {\displaystyle H} . Med H = { 1 } {\displaystyle H=\{1\}} fås den ursprungliga satsen.

Bevis

Låt a {\displaystyle a} vara ett element i G {\displaystyle G} och låt X {\displaystyle X} vara mängden av vänstersidoklasser till H {\displaystyle H} i G {\displaystyle G} . Definiera en funktion φ a : X X {\displaystyle \varphi _{a}:X\to X} genom

φ a ( g ) = a g H {\displaystyle \varphi _{a}(g)=agH}

för alla g G {\displaystyle g\in G} . Funktionen φ a {\displaystyle \varphi _{a}} är då en permutation av X {\displaystyle X} och avbildningen φ : X S X {\displaystyle \varphi :X\to S_{X}} definierad genom

φ ( a ) = φ a {\displaystyle \varphi (a)=\varphi _{a}}

är en homomorfi, då det gäller att

φ ( a b ) = φ a b = φ a φ b = φ ( a ) φ ( b ) . {\displaystyle \varphi (ab)=\varphi _{ab}=\varphi _{a}\circ \varphi _{b}=\varphi (a)\varphi (b).}

Gruppen S x {\displaystyle S_{x}} är isomorf med S n {\displaystyle S_{n}} , då vi från förutsättningarna vet att X {\displaystyle X} har n {\displaystyle n} element. Alltså är avbildningen en homomorfi.

Låt nu specifikt a {\displaystyle a} vara ett element i kärnan till φ {\displaystyle \varphi } . Då är a g H = g H {\displaystyle agH=gH} för alla g {\displaystyle g} , och speciellt är a H = H {\displaystyle aH=H} vilket ger att a H {\displaystyle a\in H} . Alltså gäller att ϕ {\displaystyle \phi } :s kärna är en delgrupp till H {\displaystyle H} , vilket skulle visas.

Se även

  • Yonedas lemma, en generalisering av Cayleys sats i kategoriteori.

Referenser

Noter

  1. ^ Dummit, D. S.; Foote, R. M. (2004). Abstract Algebra (3). Wiley. sid. 120. ISBN 978-0-471-43334-7 

Tryckta källor

  • Svensson, Per-Anders (2001). Abstrakt Algebra. Studentlitteratur. ISBN 91-44-01262-4 
  • Rotman, Joseph (1995). An Introduction to the Theory of Groups. Springer Verlag. ISBN 3-540-94285-8