Cayleys sats är en matematisk sats inom gruppteori uppkallad efter Arthur Cayley som säger att varje grupp är isomorf med någon permutationsgrupp.[1] En följd av Cayleys sats är att allt som gäller för permutationsgrupper gäller för grupper i allmänhet.
Bevis
Beviset för Cayleys sats går ut på att det finns en undergrupp till den symmetriska gruppen på
, betecknad
, som är isomorf med
.
Tag ett
och definiera en avbildning
som
för alla
. Bilda
, som är en delmängd till
.
är en grupp med funktionssammansättning som gruppoperation:
![{\displaystyle f_{a}f_{b}(g)=f_{a}(f_{b}(g))=f_{a}(bg)=abg=f_{ab}(g)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ad5793bcab3c14e3f19897f809114231e765f90)
dvs,
. Det neutrala elementet
ligger i
eftersom
. Inversen till
ges av
. Detta ger att
är en grupp, specifikt en delgrupp till
.
Gruppen
är i själva verket isomorf med
, ty
definierad som
är en isomorfi:
är injektiv, ty om
är
som ger
. - Att
är surjektiv följer ur definitionen. - Att
är en grupphomomorfi, dvs att
följer ur
.
De tre egenskaperna ovan ger att
är en isomorfi. Alltså är gruppen
isomorf med permutationsgruppen
, vilket bevisar Cayleys sats.
Generalisering
Cayleys sats kan generaliseras. Om
är en delgrupp till
med index
så finns en homomorfi
där
är den symmetriska gruppen med
element sådan att
:s kärna är en delgrupp till
. Med
fås den ursprungliga satsen.
Bevis
Låt
vara ett element i
och låt
vara mängden av vänstersidoklasser till
i
. Definiera en funktion
genom
![{\displaystyle \varphi _{a}(g)=agH}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3debe25f68746697e8f1147aa4a2cbbf63e5724)
för alla
. Funktionen
är då en permutation av
och avbildningen
definierad genom
![{\displaystyle \varphi (a)=\varphi _{a}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b1901589f4e7361ec35665cd675ddd77ad5de7)
är en homomorfi, då det gäller att
![{\displaystyle \varphi (ab)=\varphi _{ab}=\varphi _{a}\circ \varphi _{b}=\varphi (a)\varphi (b).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bf02da2def79d0968fde3b4fe6337e141c10c76)
Gruppen
är isomorf med
, då vi från förutsättningarna vet att
har
element. Alltså är avbildningen en homomorfi.
Låt nu specifikt
vara ett element i kärnan till
. Då är
för alla
, och speciellt är
vilket ger att
. Alltså gäller att
:s kärna är en delgrupp till
, vilket skulle visas.
Se även
- Yonedas lemma, en generalisering av Cayleys sats i kategoriteori.
Referenser
Noter
Tryckta källor
- Svensson, Per-Anders (2001). Abstrakt Algebra. Studentlitteratur. ISBN 91-44-01262-4
- Rotman, Joseph (1995). An Introduction to the Theory of Groups. Springer Verlag. ISBN 3-540-94285-8