Podudarnost (geometrija)

U geometriji dvije figure su identične ako imaju istu veličinu i oblik.

Dva skupa tačaka su podudarna ako postoji preslikavanje kojim se taj skup preslikava u drugi skup, a da se pri tom ne mijenja veličina i oblik.

Podudarnost se označava sa ${\displaystyle \cong }$

U osnovnoj geometrije reč jednako cesto se koristi umesto podudaran.^[1] Podudaran ima značenje:

1. Dve duži su podudarne ako imaju istu dužinu ${\displaystyle d_{1}=d_{2}}$ tj ${\displaystyle d_{1}\cong d_{2}}$
2. Dva ugla su podudarna ako imaju istu meru ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}}$ tj ${\displaystyle \alpha _{1}\cong \alpha _{2}}$
3. Dva kruga su podudarna ako imaju isti prečnik ${\displaystyle R_{1}\cong R_{2}}$ tj ${\displaystyle R_{1}\cong R_{2}}$

Aksiome podudarnosti opisuju osnovne karakteristike relacije podudarnosti parova tačaka. Ovu relaciju uvodimo kao polazni pojam.

• Aksiom 1

Ako je ${\displaystyle (A,B)\cong (C,D)}$ i ${\displaystyle A=B}$, tada je i ${\displaystyle C=D}$.

• Aksiom 2

Za svake dvije tačke ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ je ${\displaystyle (A,B)\cong (B,A)}$.

• Aksiom 3

Ako je ${\displaystyle (A,B)\cong (C,D)}$ i ${\displaystyle (A,B)\cong (E,F)}$ tada je ${\displaystyle (C,D)\cong (E,F)}$

• Aksiom 4

Ako su C i C' tačke otvorenih duži AB i A'B', takve da je ${\displaystyle (A,C)\cong (A',C')}$ i ${\displaystyle (B,C)\cong (B',C')}$, tada je i ${\displaystyle (B,C)\cong (A',B')}$

• Aksiom 5

Ako su A i B dvije tačke i CX poluprava tada na toj polupravoj postoji tačka D takva da je ${\displaystyle (A,B)\cong (C,D)}$

• Aksiom 6

Ako su A, B, C tri nekolinearne tačke i ${\displaystyle A',B'}$ tačke ruba neke poluravni ${\displaystyle \pi }$, takve da je ${\displaystyle (A,B)\cong (A',B')}$ tada u toj poluravni postoji jedinstvena tačka C' takva da je ${\displaystyle (A,C)\cong (A',C')}$ i ${\displaystyle (B,C)\cong (B',C')}$

• Aksiom 7

Ako su A, B, C i A', B', C' dvije trojke nekolinearnih tačaka i D i D' tačke polupravih BC i B'C' takve da je ${\displaystyle (AB)\cong (A',B')}$ , ${\displaystyle (BC)\cong (B',C')}$, ${\displaystyle (A,C)\cong (A',C')}$ i ${\displaystyle (B,D)\cong (B',D')}$ , tada je i ${\displaystyle (A,D)\cong (A',D')}$

Relacija podudarnosti parova tačaka je relacija ekvivalencije.

1. ${\displaystyle (A,B)\cong (A,B)}$ relacija je refleksivna.
2. Neka je ${\displaystyle (AB)\cong (C,D)}$ [${\displaystyle (A,B)\cong (A,B)}$] => ${\displaystyle (CD)\cong (A,B)}$ relacija je simetrična
3. ${\displaystyle (A,B)\cong (C,D)}$ i ${\displaystyle (C,D)\cong (E,F)=>}$ ${\displaystyle (A,B)\cong (E,F)}$[slijedi na osnovu simetričnosti]

Teorema 1

Ako su A i B dvije tačke i CX poluprava tada na toj polupravoj postoji jedinstvena tačka D takva da je '${\displaystyle (A,B)\cong (CD)}$

Teorema 2

Ako su A,B,C tri razne tačke prave p i A',B' dvije tačke prave p' takve da je ${\displaystyle (A,B)\cong (A',B')}$, tada postoji jedinstvena tačka C' takva da je A',B' i ${\displaystyle (A,C)\cong (A',C')}$.

Pri tome, tačka C' pripada pravoj p' i:

1. ako je ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(A,C,B)}$, tada je ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(A',C',B')}$
2. ako je ako je ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(A,B,C)}$, tada je ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(A',B',C')}$
3. ako je ako je ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(B,C,A)}$, tada je ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(B',C',A')}$

Definicija 1

Kažemo da je uređena n-torka tačaka ${\displaystyle (A_{1},A_{2},...,A_{n})}$ podudarna sa n- torkom ${\displaystyle (A'_{1},A'_{2},...,A'_{n})}$ u oznaci ${\displaystyle (A_{1},A_{2},...,A_{n})\cong (A'_{1},A'_{2},...,A'_{n})}$

ako je za svako ${\displaystyle (i,k)\in {\begin{Bmatrix}{1,2,...n}\end{Bmatrix}}(A_{i},A_{k})\cong (A'_{i},A'_{k})}$

Definicija 2

Neka su A i B dvije razne tačke neke ravni ${\displaystyle \alpha }$. Skup svih tačaka ${\displaystyle X}$ te ravni takvih da je ${\displaystyle (A,B)\cong (A,X)}$,naziva se krug, u oznaci ${\displaystyle k(A,AB)}$, sa centrom A i čiji je poluprečnik duž AB.

Ako su dvije duži AB i CD su podudarne označavamo sa ${\displaystyle AB\cong CD}$,

Teorema 3

${\displaystyle (A,B)\cong (A',B')=>A,B\cong A',B'}$,

Definicija 3

Tačka S je središte duži ${\displaystyle AB}$ ako pripada toj duži i važi ${\displaystyle AS\cong SB}$

Teorema 4

Za svaku duž postoji jedinstveno središte.

Definicija 4

Duž AB je manja od duži CD u oznaci AB < CD ako unutar duži CD postoji tačka E takva da je AB ≅ CE. Takođe u tom slučaju kažemo i da je duž CD veća od duži AB u oznaci CD > AB.

Definicija 5

Duž EF jednaka je zbiru duži AB i CD u oznaci EF = AB + CD ako unutar duži EF postoji tačka G takva da je AB≅EG CD ≅GF. Na isti način definišu se razlika, proizvod duži i prirodnog broja, proizvod duži iracionalnog broja

Dva konveksna ili konkavna ugla ${\displaystyle pOq}$ i ${\displaystyle p_{1}O_{1}q_{1}}$ su podudarna ako i samo ako na kracima ${\displaystyle p}$ i ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p_{1}}$, ${\displaystyle q_{1}}$ redom postoje tačke ${\displaystyle P,Q,P_{1},Q_{1}}$ takve da je: ${\displaystyle (P,O,Q)\cong (P_{1},O_{1},Q_{1}}$).

Teorema 5

• Unakrsni uglovi su međusobno podudarni.
• Za svaki ∠pq i svaku polupravu p' neke ravni, postoji u poluravni određenoj pravom koja sadrži p', jedinstvena poluprava q' takva da ∠pq ≅ ∠p'q'.

Teorema 6

Svaki ugao ima jedinstvenu bisektrisu

Definicija 5

Ugao AOB je manji od ugla CSD u oznaci ${\displaystyle \angle AOB<\angle CSD}$ ako unutar ugla CSD postoji poluprava SE takva da je ${\displaystyle \angle AOB\cong \angle CSE}$. U tom slučaju kažemo ia je ugao CSD veći od ugla AOB u oznaci ${\displaystyle \angle CSD>\angle AOB}$.

Definicija 6

Uglom dviju mimoilaznih pravih p i q u prostoru ${\displaystyle E^{3}}$ nazivamo ugao što ga određuju njima paralelene prave a i b koje se sjeku u nekoj tački O. Specijalno, ako je ugao dviju mimoilaznih pravih u prostoru ${\displaystyle E^{3}}$ prav, tada kažemo da su prave ${\displaystyle p}$ i q normalne među sobom, i simbolički označavamo sa ${\displaystyle p\perp q}$

Teorema 7

1. Ugao podudaran nekom pravom uglu takođe je prav.
2. Pravi uglovi su među sobom podudarni.
3. Postoji jedna i samo jedna prava koja siječe svaku od dvije mimoilazne prave a i b pod pravim uglom.

Dva podudarna poligona imaju isti broj stranica i vrhova.^[2]

Dva poligoni sa n strane su podudarni ako i samo ako svaki od njih ima odgovarajuće stranice i uglove jednake.

1. Dva paralelograma su podudarna ako su im podudarne dvije susjedne ivice i jedan ugao.
2. Dva pravougaonika su podudarna ako su im podudarne dvije susjedne ivice.
3. Dva romba su podudarna ako su im podudarne jedna ivica i jedan ugao
4. Dva kvadrata su podudarna ako su im podudarne stranice.

Dva trougla su podudarna ako su njihove odgovarajuće stranice jednake dužine,odgovarajući uglovi jednake veličine. Da su dva trougla ABC i DEF podudarni zapisujemo

${\displaystyle \triangle \mathrm {ABC} \cong \triangle \mathrm {DEF} }$

• SUS

Dva trougla su podudarna ako su dvije ivice i njima zahvaćeni ugao jednog trougla podudarni sa odgovarajućim ivicama i uglovima drugog trougla, tj: ${\displaystyle AB\cong A'B',AC\cong A'C',\angle BAC\cong \angle B'A'C'=>\triangle ABC\cong \triangle A'B'C'}$

• SSS

Dva trougla su podudarna ako su im odgovarajuće ivice podudarne, tj. ${\displaystyle AB\cong A'B',BC\cong B'C',AC\cong A'C'=>\triangle ABC\cong \triangle A'B'C'}$

Dokaz:

Neka su ABC, A'B'C' dva trougla takva da je ${\displaystyle AB\cong A'B',BC\cong B'C',AC\cong A'C'}$. Tada su i odgovarajući parovi tačaka podudarni tj. ${\displaystyle \triangle ABC\cong \triangle A'B'C'.}$

Postoji izometrija te ravni, koja tačke A,B,C preslikava redom u tačke A', B', C'. Izometrije čuvaju raspored, pa se odgovarajuće ivice jednog trougla preslikavaju u odgovarajuće ivice drugog trougla. Izometrija preslikava trougao ABC u trougao A'B'C', pa je ${\displaystyle \triangle ABC\cong \triangle A'B'C'.}$

• USU

Dva trougla su podudarna ako su jedna ivica i na njoj nalegli uglovi jednog trougla podudarni sa odgovarajućom ivicom i odgovarajućim uglovima drugog trougla, tj: ${\displaystyle BC\cong B'C',\angle ABC\cong \angle A'B'C',\angle ACB\cong \angle A'C'B'=>\triangle ABC\cong \triangle A'B'C'}$

• SSU

Dva trougla su podudarna ako su dvije ivice i ugao naspram jedne od njih jednog trougla podudarni sa odgovarajućim stranicama i odgovarajućim uglom drugog trougla ^[3]

Geometrija (za I razred gimnazije)/1998 god.

1. ↑ Congruent
2. ↑ Congruent Polygons
3. ↑ SSS