Integrare prin schimbare de variabilă

În analiza matematică, integrarea prin schimbarea de variabilă (sau prin substituție) este un procedeu de integrare care constă în înlocuirea unei variabile (sau a unei funcții) printr-o altă funcție sau alt parametru. Există două astfel de metode.

Prima metodă de schimbare de variabilă

Această metodă se aplică pentru aflarea primitivei unei funcții h : I → R , {\displaystyle h:I\rightarrow \mathbb {R} ,} care poate fi scrisă sub forma:

h ( t ) = f ( ϕ ( t ) ) ⋅ ϕ ′ ( t ) , ∀ t ∈ R , {\displaystyle h(t)=f(\phi (t))\cdot \phi '(t),\;\forall t\in \mathbb {R} ,}

unde ϕ : I → J {\displaystyle \phi :I\rightarrow J\;}   este o funcție derivabilă, iar f : I → R . {\displaystyle f:I\rightarrow \mathbb {R} .}

Dacă funcția f admite o primitivă F, adică   F ′ = f , {\displaystyle F'=f,}   atunci, aplicând regula de derivare a funcțiilor compuse:

h ( t ) = F ′ ( ϕ ( t ) ) ⋅ ϕ ′ ( t ) = ( F ∘ ϕ ) ′ ( t ) , {\displaystyle h(t)=F'(\phi (t))\cdot \phi '(t)=(F\circ \phi )'(t),}

deci F ∘ ϕ {\displaystyle F\circ \phi }   este o primitivă a lui h.

Teoremă (prima metodă de schimbare de variabilă)

Fie I, J intervale din R {\displaystyle \mathbb {R} }   și

ϕ : I → J {\displaystyle \phi :I\rightarrow J}     f : J → R {\displaystyle f:J\rightarrow \mathbb {R} }

funcții cu proprietățile:

( α ) {\displaystyle (\alpha )}   φ este derivabilă pe I,
( β ) {\displaystyle (\beta )}   f admite primitive (fie F o primitivă a sa).

Atunci funcția ( f ∘ ϕ ) ⋅ ϕ ′ {\displaystyle (f\circ \phi )\cdot \phi '}   admite primitive, iar funcția F ∘ ϕ {\displaystyle F\circ \phi }   este o primitivă a lui ( f ∘ ϕ ) ⋅ ϕ ′ , {\displaystyle (f\circ \phi )\cdot \phi ',}   adică:

∫ f ( ϕ ( t ) ) ⋅ ϕ ′ ( t ) d t = F ∘ ϕ + C . {\displaystyle \int f(\phi (t))\cdot \phi '(t)dt=F\circ \phi +{\mathcal {C}}.}

Demonstrație. Funcția F fiind o primitivă a lui f, este derivabilă pe J și   F ′ = f . {\displaystyle F'=f.} Însă φ este derivabilă pe I (ipoteza (α)), deci și   F ∘ ϕ {\displaystyle F\circ \phi }   este derivabilă pe I și:

( F ∘ ϕ ) ′ ( t ) = F ′ ( ϕ ( t ) ) ⋅ ϕ ′ ( t ) = f ( ϕ ( t ) ) ⋅ ϕ ′ ( t ) ∀ t ∈ I . {\displaystyle (F\circ \phi )'(t)=F'(\phi (t))\cdot \phi '(t)=f(\phi (t))\cdot \phi '(t)\;\;\forall t\in I.}

Așadar, funcția   F ∘ ϕ {\displaystyle F\circ \phi }   este o primitivă a lui   ( f ∘ ϕ ) ⋅ ϕ ′ . {\displaystyle (f\circ \phi )\cdot \phi '.}

A doua metodă de schimbare de variabilă

Această metodă se aplică atunci când se cunoaște o primitivă H a funcției   h = ( f ∘ ϕ ) ⋅ ϕ ′ {\displaystyle h=(f\circ \phi )\cdot \phi '}   și se cere să se găsească o primitivă F a funcției f; F se obține din H astfel:

F = H ∘ ϕ − 1 . {\displaystyle F=H\circ \phi ^{-1}.}

Vezi și

 Acest articol legat de matematică este deocamdată un ciot. Poți ajuta Wikipedia prin completarea lui.