Transformada inversa de Laplace

Em matemática, a transformada inversa de Laplace de uma função F(s) é a função f(t) que tem a propriedade: ${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f\right\}(s)=F(s)}$, ou também ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{t}\left\{f(t)\right\}(s)=F(s)}$, onde ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ denota a Transformada de Laplace. Pode ser provado que se uma função ${\displaystyle F(s)}$ tem a transformada inversa de Laplace ${\displaystyle f(t)}$, i.e. ${\displaystyle f}$ é uma função seccionalmente contínua e exponencialmente restrita, ${\displaystyle f}$ satisfaz a condição:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{t}\{f(t)\}(s)=F(s),\ \forall s\in \mathbb {R} }$

Então ${\displaystyle f(t)}$ é somente determinada (considerando funções que diferem da outras somente no ponto zero). Esse resultado foi provado primeiro por Mathias Lerch em 1903 e é conhecido como teorema de Lerch.

A Transformada de Laplace e a transformada inversa de Laplace têm algumas propriedades que as fazem útil para analisar sistemas dinâmicos lineares.

Fórmula da Inversa de Mellin

Uma formula da integral da transformada inversa de Laplace, chamada de integral de Bromwich, a integral de Fourier-Mellin , e fórmula da inversa de Mellin, é dada pela integral de linha:

${\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F\}(t)={\mathcal {L}}_{s}^{-1}\{F(s)\}(t)={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{\gamma -iT}^{\gamma +iT}e^{st}F(s)\,ds,}$

Onde a integração é feito ao longo da linha vertical ${\displaystyle Re(s)=\gamma }$ no plano complexo em que ${\displaystyle \gamma }$ é maior do que a parte real de todas as singularidades de ${\displaystyle F(s)}$. Isto garante que o caminho de contorno esta na região de convergência. Se todas as singularidades estão à esquerda do meio do plano, ou ${\displaystyle F(s)}$ é uma função de smooth em - ∞ < Re(s) < ∞ (i.e. no singularidades), então ${\displaystyle \gamma }$ pode ser definido para zero e acima da formula da integral inversa tornando-se idêntica à Transformada Inversa de Fourier.

Na prática, contando que a integral complexa pode ser realizada usando o teorema dos resíduos de Cauchy. Foram intitulados depois Hjalmar Mellin, Joseph Fourier e Thomaas John I' Anson Bromwich.

Se ${\displaystyle F(s)}$ é a transformada de laplace da função ${\displaystyle f(t)}$, então ${\displaystyle f(t)}$ é chamada de transformada inversa de Laplace of ${\displaystyle F(s)}$.

Deslocamento na Frequência

Conhecida como deslocamento ou translação do eixo S, é possível conhecer a transformada de múltiplos exponenciais de uma função desde que conheçamos a sua transformada, isto é:

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{e^{at}f(t)\right\}=F(s-a),}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$,

ou

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\{F(s-a)\}=e^{at}f(t)}$

Demonstração: Faz-se a aplicação direta da definição de transformada de Laplace de ${\displaystyle F(s-a)}$:

${\displaystyle F(s-a)=\int \limits _{0}^{\infty }f(t)e^{-(s-a)t}dt}$${\displaystyle =\int \limits _{0}^{\infty }f(t)e^{at}e^{-st}dt={\mathcal {L}}\{e^{at}f(t)\}}$

Afim de entender melhor essa notação, podemos dizer que ${\displaystyle G(s)=F(s)}$, ou seja, a função não deslocada no domínio da frequência, logo:

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\{G(s)\}=g(t)}$

Portanto:

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\{F(s-a)\}=e^{at}g(t)}$

A Transformada Inversa quando há um Deslocamento do Eixo S costuma recair em alguns problemas os quais exigem métodos algébricos recorrentes, tais como método de completamento de quadrados, cálculo do valor do deslocamento a e Transformada Inversa da função sem deslocamento G(s).

Exemplo 1:

${\displaystyle F(s-a)={\frac {s}{{s}^{2}+6s+10}}}$

Transformamos o denominador usando completamento de quadrados:

${\displaystyle F(s-a)={\frac {s}{{(s+3)}^{2}+1}}}$

Observando que ${\displaystyle s+3=s-a}$ ,

${\displaystyle a=-3}$ valor do deslocamento

${\displaystyle F(s-a)={\frac {x}{{(x+3)}^{2}+1}}}$

Queremos remover o deslocamento, então:

${\displaystyle x+3=s}$

${\displaystyle x=s-3}$

${\displaystyle G(s)={\frac {s-3}{{(s-3+3)}^{2}+1}}}$

${\displaystyle G(s)={\frac {s-3}{{s}^{2}+1}}={\frac {s}{{s}^{2}+1}}-{\frac {3}{{s}^{2}+1}}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\{G(s)\}=g(t)=cos(t)-3sen(t)}$

Temos que:

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\{F(s-a)\}=e^{at}g(t)}$

Substituindo ${\displaystyle g(t)}$:

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\{F(s-a)\}=e^{at}[cos(t)-3sen(t)]}$

Substituindo a:

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\{F(s-a)\}=e^{-3t}[cos(t)-3sen(t)]}$

Ver também

• Formula da inversão de Post, uma fórmula alternativa para a transformada inversa de Laplace.

Referências

• Davies, B. J. (2002), Integral transforms and their applications, ISBN 978-0-387-95314-4 3rd ed. , Berlin, New York: Springer-Verlag 
• Manzhirov, A. V.; Polyanin, Andrei D. (1998), Handbook of integral equations, ISBN 978-0-8493-2876-3, London: CRC Press 
• Boas, Mary (1983), Mathematical Methods in the physical sciences, ISBN 0-471-04409-1, John Wiley & Sons, p. 662  (p. 662 or search Index for "Bromwich Integral", a nice explanation showing the connection to the fourier transform)