Teste da integral

O teste da integral ^{(português brasileiro)} ou critério do integral ^{(português europeu)} é um método para estabelecer a convergência de séries numéricas comparando a soma de seus termos à integral de uma função adequada. É um dos testes de convergência mais precisos entre os possiveis.

Enunciado

Seja ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ uma série de números positivos com ${\displaystyle f(x):[\delta ,\infty )\to \mathbb {R} }$ e ${\displaystyle \delta \in \mathbb {R} _{+}}$ uma função com as seguintes propriedades:

• ${\displaystyle f(x)\geq 0\,}$;
• ${\displaystyle f(x)\,}$ é decrescente;
• ${\displaystyle f(n)=a_{n}\,}$.

Então ${\displaystyle \sum _{n=\delta }^{\infty }a_{n}}$ converge se e somente se ${\displaystyle \int _{\delta }^{\infty }f(x)dx}$ converge. Geralmente ${\displaystyle \delta =1}$

Demonstração

Como ${\displaystyle f(x)}$ é decrescente e ${\displaystyle f(n)=a_{n}}$, podemos enquadrar os termos da seguinte forma:

${\displaystyle a_{n+1}=f(n+1)\leq f(x)\leq f(n)=a_{n}}$, se ${\displaystyle x\in [n,n+1]}$

integrando no intervalo, temos:

${\displaystyle a_{n+1}\leq \int _{n}^{n+1}f(x)dx\leq a_{n}}$

Somando até ${\displaystyle N}$:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}a_{n+1}\leq \int _{1}^{N+1}f(x)dx\leq \sum _{n=1}^{N}a_{n}}$

Agora basta observar que ${\displaystyle f(x)\geq 0}$ implica que a integral ou tende a infinito ou converge. E resultado segue pelo teste da comparação.

O melhor enunciado

O Critério do Integral faz uma "ponte" entre dois importantes capítulos da base matemática, o Cálculo Integral e as Séries.
Ele pode ser enunciado sob a condição única da monotonia!

• É frequente encontrarmos enunciados que exigem, para além da positividade e da monotonia decrescente, que a função seja contínua, talvez a pensar numa condição de integrabilidade, mas as funções monótonas num intervalo limitado e fechado são limitadas nesse intervalo e portanto são integráveis, pelo que a continuidade não é, de todo, necessária.
  As demonstrações mais conhecidas, como a que se encontra acima, não fazem qualquer referência à condição de integrabilidade (nós podemos dar estas demonstrações abreviadas aos alunos, mas não podemos deixar de os sensibilizar para o facto de elas não estarem completas).
• Pode mostrar-se que a positividade também não é necessária, pois as funções monótonas têm sempre limite - se a função é decrescente e o limite é nulo então ela é necessariamente positiva e se o limite não é nulo, falham as condições necessárias de convergência duma série e de um integral impróprio.
• Também a exigência da função ter que ser decrescente não é necessária, pois são da mesma natureza as séries e os integrais com f ou com -f.

Em breve copiarei para aqui a demonstração completa de Jaime Campos Ferreira. Jmegsalazar 23h57min de 9 de fevereiro de 2021 (UTC)

Exemplo

Considera a Série de Dirichlet com expoente ${\displaystyle \alpha >1}$:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\alpha }}}}$

e considere a função:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{\alpha }}}}$

é sabido que:

${\displaystyle \int _{1}^{N}f(x)dx=\int _{1}^{N}x^{-\alpha }={\frac {1-N^{(1-\alpha )}}{\alpha -1}}\to {\frac {1}{\alpha -1}},N\to \infty }$

Portanto, tal série converge.