Teorema geométrico de Euler

Teorema de Euler:
d = | I O | = R ( R − 2 r ) {\displaystyle d=|IO|={\sqrt {R(R-2r)}}}

Em geometria, o teorema de Euler estabelece que a distância d entre o circuncentro (circunferência circunscrita) e o incentro de um triângulo é dado por[1][2]

d 2 = R ( R − 2 r ) {\displaystyle d^{2}=R(R-2r)}
ou equivalentemente
1 R − d + 1 R + d = 1 r , {\displaystyle {\frac {1}{R-d}}+{\frac {1}{R+d}}={\frac {1}{r}},}
onde R {\displaystyle R} e r {\displaystyle r} denotam o circunraio e o inraio, respectivamente (os raio da circunferência circunscrita e da circunferência inscrita, respectivamente). O teorema é denominado em memória de Leonhard Euler, que o publicou em 1765.[3] Contudo, o mesmo resultado foi publicado anteriormente por William Chapple, em 1746.[4]

Do teorema segue a desigualdade de Euler:[5][6]

R ≥ 2 r , {\displaystyle R\geq 2r,}
que satisfaz a igualdade apenas para triângulos equiláteros.[7]

Referências

  1. ↑ Johnson, Roger A. (2007) [1929], Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., p. 186 
  2. ↑ Dunham, William (2007), The Genius of Euler: Reflections on his Life and Work, ISBN 9780883855584, Spectrum Series, 2, Mathematical Association of America, p. 300 
  3. ↑ Leversha, Gerry; Smith, G. C. (Novembro de 2007), «Euler and triangle geometry», The Mathematical Gazette, 91 (522): 436–452, JSTOR 40378417 
  4. ↑ Chapple, William (1746), «An essay on the properties of triangles inscribed in and circumscribed about two given circles», Miscellanea Curiosa Mathematica, 4: 117–124 . The formula for the distance is near the bottom of p.123.
  5. ↑ Alsina, Claudi; Nelsen, Roger (2009), When Less is More: Visualizing Basic Inequalities, ISBN 9780883853429, Dolciani Mathematical Expositions, 36, Mathematical Association of America, p. 56 
  6. ↑ Debnath, Lokenath (2010), The Legacy of Leonhard Euler: A Tricentennial Tribute, ISBN 9781848165250, World Scientific, p. 124 
  7. ↑ Svrtan, Dragutin; Veljan, Darko (2012), «Non-Euclidean versions of some classical triangle inequalities», Forum Geometricorum, 12: 197–209 ; see p. 198

Ligações externas

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  • Weisstein, Eric W. «Euler Triangle Formula» (em inglês). MathWorld