Teorema do ponto fixo de Brouwer

Em matemática, sobretudo na análise funcional, o teorema do ponto fixo de Brouwer é um resultado sobre a existência de pontos fixos. Recebe o nome do matemático holandês Luitzen Egbertus Jan Brouwer.

O teorema de Brouwer é muito útil para compreensão da topologia dos espaços euclidianos. É também o ponto de partida para a demonstração de outros teoremas do o teorema do ponto fixo de Schauder e o teorema do ponto fixo de Schaefer.

Enunciado

Seja ${\displaystyle D\,}$ a bola unitária fechada em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\,}$ e ${\displaystyle f:D\to D\,}$ uma função contínua. Então existe um ponto fixo ${\displaystyle x\in D\,}$, ou seja:

${\displaystyle f(x)=x\,}$

Observações

• O conjunto ${\displaystyle D\,}$ pode ser substituído por qualquer outro conjunto fechado, limitado e convexo.
• Não se faz nenhuma exigência quanto ao fato de ${\displaystyle f\,}$ ser injetiva ou sobrejetiva.
• Este é um teorema de existência pura, ao contrário do teorema do ponto fixo de Banach que possui uma prova construtiva.

Caso trivial em uma dimensão

Seja ${\displaystyle f:[-1,1]\to [-1,1]\,}$ contínua, então a função ${\displaystyle g:=f(x)-x\,}$ também é contínua. Ainda:

${\displaystyle g(-1)=f(-1)+1\geq -1+1\geq 0\,}$

${\displaystyle g(+1)=f(+1)-1\leq +1-1\leq 0\,}$

Portanto existe pelo menos um ponto ${\displaystyle x\in [-1,1]\,}$ tal que ${\displaystyle g(x)=0\,}$ pelo teorema do valor intermediário. O que implica ${\displaystyle f(x)-x=0\,}$ e o resultado segue.

Referências

• Dugundji, James. Topology. 1^aedição. Boston: Allyn and Bacon, 1965
• Evans, C. Lawrence. Partial Differential Equations. 3^aedição. Providence, RI: AMS, 2002

• Portal da matemática