Série de funções

Em análise matemática, uma série de funções é uma série cujos elementos são funções definidas em um domínio comum ${\displaystyle D\,}$. São exemplos de séries de funções as séries de Taylor, as séries de Fourier e as séries de Laurent.

Série de funções reais

Seja ${\displaystyle D\,}$ um conjunto e ${\displaystyle \{f_{n}(x)\}\,}$ uma sequência de funções ${\displaystyle f_{n}:D\to \mathbb {R} \,}$. Denota-se e define-se a soma ${\displaystyle \{f_{n}(x)\}\,}$ como:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=1}^{N}f_{n}(x)\,}$

Critérios de convergência

Denotando as somas parciais por ${\displaystyle S_{N}(x)\,}$:

${\displaystyle S_{N}(x)=\sum _{n=1}^{N}f_{n}(x)\,}$

• Diz-se que a série converge pontualmente se a sequência ${\displaystyle S_{N}\,}$ converge pontualmente.
• Diz-se que a série converge uniformemente se a sequência ${\displaystyle S_{N}\,}$ converge uniformemente.
• Diz-se que a série converge absolutamente se a série ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|f_{n}(x)\right|\,}$ converge pontualmente.

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