Regra do paralelogramo

Um paralelogramo. Os lados estão desenhados em azul e as diagonais em vermelho.

Na matemática, a regra do paralelogramo (ou identidade do paralelogramo) é uma propriedade de geometria que relaciona a soma do quadrado dos lados de um paralelogramo com a soma do quadrado de suas diagonais. Essa propriedade pode ser generalizada para qualquer espaço vetorial munido de um produto interno e, em particular, para um espaço euclidiano.

Usando a notação do diagrama à direita, os lados são denotados (AB), (BC), (CD), (DA). Em geometria Euclidiana, um paralelogramo tem os lados opostos iguais, de forma que (AB) = (CD) e (BC) = (DA). Assim, a lei pode ser expressa como:

2 ( A B ) 2 + 2 ( B C ) 2 = ( A C ) 2 + ( B D ) 2 {\displaystyle 2(AB)^{2}+2(BC)^{2}=(AC)^{2}+(BD)^{2}}

No caso em que o paralelogramo é um retângulo, as duas diagonais têm comprimentos iguais (AC) = (BD). Nesse caso, a identidade se reduz ao teorema de Pitágoras:

2 ( A B ) 2 + 2 ( B C ) 2 = 2 ( A C ) 2 {\displaystyle 2(AB)^{2}+2(BC)^{2}=2(AC)^{2}}
valor máximo da soma vetorial (v1+v2) = valor mínimo da soma vetorial (v1+v2) - para qualquer ângulo

Então, assim, todo losango é paralelogramo.[1]

Identidade do paralelogramo em espaços com produto interno

Em um espaço vetorial munido de um produto interno, uma norma pode ser definida a partir do produto interno:

‖ x ‖ 2 = ⟨ x , x ⟩ . {\displaystyle \|x\|^{2}=\langle x,x\rangle .}

Como consequência dessa definição, em um espaço vetorial munido de um produto interno, a identidade do paralelogramo é resultado de manipulações algébricas do produto interno.

Suponhamos que esse seja um espaço vetorial real.

Sejam x e y elementos desse espaço vetorial, então:

‖ x + y ‖ 2 = ⟨ x + y , x + y ⟩ = ⟨ x , x ⟩ + ⟨ x , y ⟩ + ⟨ y , x ⟩ + ⟨ y , y ⟩ , {\displaystyle \|x+y\|^{2}=\langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle ,}
‖ x − y ‖ 2 = ⟨ x − y , x − y ⟩ = ⟨ x , x ⟩ − ⟨ x , y ⟩ − ⟨ y , x ⟩ + ⟨ y , y ⟩ . {\displaystyle \|x-y\|^{2}=\langle x-y,x-y\rangle =\langle x,x\rangle -\langle x,y\rangle -\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle .}

Adicionando essas expressões, estabelecemos a identidade do paralelogramo[2]

‖ x + y ‖ 2 + ‖ x − y ‖ 2 = 2 ⟨ x , x ⟩ + 2 ⟨ y , y ⟩ = 2 ‖ x ‖ 2 + 2 ‖ y ‖ 2 , {\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\langle x,x\rangle +2\langle y,y\rangle =2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2},}

Se x e y são ortogonais nesse espaço, então ⟨ x ,   y ⟩ = 0 {\displaystyle \langle x,\ y\rangle =0} e a equação acima se reduz à

‖ x + y ‖ 2 = ‖ x ‖ 2 + ‖ y ‖ 2 , {\displaystyle \|x+y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2},}

que corresponde ao teorema de Pitágoras.

Espaços vetoriais normados satisfazendo a identidade do paralelogramo

Um fato notável é que pode se definir um produto interno para um espaço vetorial normado sobre R que satisfaz à identidade do paralelogramo. A demonstração desse fato é uma consequência direta das identidades de polarização. Para espaços de Banach complexos, demonstra-se o mesmo resultado a partir do Teorema de Von Neumann - Jordan[3].

Referências

  1. ↑ O que é um losango?
  2. ↑ Lima, Elon Lages (1981). Curso de análise, Volume 2. Instituto de Matemática Pura e Aplicada. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada 
  3. ↑ «The Jordan-Von Neumann Theorem» (PDF). Consultado em 6 de maio de 2012 
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