Raio de Einstein

O raio de Einstein é o raio de um anel de Einstein e é um ângulo característico para lentes gravitacionais em geral, pois as distâncias típicas entre imagens em lentes gravitacionais são da ordem do raio de Einstein.^[1][2]

Derivação

Na derivação a seguir do raio de Einstein, assumiremos que toda a massa M do efeito L da galáxia está concentrado no centro da galáxia.

Para uma massa pontual, a deflexão pode ser calculada e é um dos testes clássicos da relatividade geral. Para pequenos ângulos α1, a deflexão total por uma massa pontual M é dada (ver métrica de Schwarzschild) por

${\displaystyle \alpha _{1}={\frac {4G}{c^{2}}}{\frac {M}{b_{1}}}}$

onde

b₁ é o parâmetro de impacto (a distância da aproximação mais próxima do raio de luz ao centro de massa)

Gé a constante gravitacional, e

c é a velocidade da luz.^[3]

Observando que, para ângulos pequenos e com o ângulo expresso em radianos, o ponto de aproximação mais próximo b₁ em um ângulo θ₁ para a lente L à distância D_L é dada por b₁ = θ₁ D_L, podemos re-expressar o ângulo de flexão α₁ como

${\displaystyle \alpha _{1}(\theta _{1})={\frac {4G}{c^{2}}}{\frac {M}{\theta _{1}}}{\frac {1}{D_{\rm {L}}}}}$ ..... (Equação 1)

Se definirmos θ_S como o ângulo no qual veríamos a fonte sem a lente (que geralmente não é observável), e θ₁ como o ângulo observado da imagem da fonte em relação à lente, pode-se ver a partir da geometria da lente (contando as distâncias no plano da fonte) que a distância vertical percorrida pelo ângulo θ₁ à distância D_S é o mesmo que a soma das duas distâncias verticais θ_S D_S e α₁ D_LS.^[4] Isso fornece a equação da lente

${\displaystyle \theta _{1}\;D_{\rm {S}}=\theta _{\rm {S}}\;D_{\rm {S}}+\alpha _{1}\;D_{\rm {LS}}}$

que pode ser reorganizado para fornecer

${\displaystyle \alpha _{1}(\theta _{1})={\frac {D_{\rm {S}}}{D_{\rm {LS}}}}(\theta _{1}-\theta _{\rm {S}})}$ ..... (Equação 2)

Definindo (eq. 1) igual a (eq. 2) e reorganizando, obtemos

${\displaystyle \theta _{1}-\theta _{\rm {S}}={\frac {4G}{c^{2}}}\;{\frac {M}{\theta _{1}}}\;{\frac {D_{\rm {LS}}}{D_{\rm {S}}D_{\rm {L}}}}}$

Para uma fonte logo atrás da lente, θ_S = 0, e a equação da lente para um ponto de massa dá um valor característico para θ₁ isso é chamado de ângulo de Einstein, denotado θ_E. Quando θ_E é expresso em radianos e a fonte de lente está suficientemente distante, o raio de Einstein, denotado R_E, é dado por

${\displaystyle R_{E}=\theta _{E}D_{\rm {L}}}$. ^[5]

Colocando θ_S = 0 e resolvendo θ₁ encontramos

${\displaystyle \theta _{E}=\left({\frac {4GM}{c^{2}}}\;{\frac {D_{\rm {LS}}}{D_{\rm {L}}D_{\rm {S}}}}\right)^{1/2}}$

O ângulo de Einstein para uma massa pontual fornece uma escala linear conveniente para criar variáveis de lente sem dimensão. Em termos do ângulo de Einstein, a equação da lente para uma massa pontual torna-se

${\displaystyle \theta _{1}=\theta _{\rm {S}}+{\frac {\theta _{E}^{2}}{\theta _{1}}}}$

Substituindo as constantes fornece

${\displaystyle \theta _{E}=\left({\frac {M}{10^{11.09}M_{\bigodot }}}\right)^{1/2}\left({\frac {D_{\rm {L}}D_{\rm {S}}/D_{\rm {LS}}}{\rm {Gpc}}}\right)^{-1/2}{\rm {arcsec}}}$

Nesta última forma, a massa é expressa em massas solares (M_☉ e as distâncias em Gigaparsec (Gpc).) O raio de Einstein é mais proeminente para uma lente tipicamente a meio caminho entre a fonte e o observador.^[6]

Para um aglomerado denso com massa M_c ≈ 7016100000000000000♠10×10¹⁵ M_☉ a uma distância de 1 Gigaparsec (1 Gpc), esse raio pode ser tão grande quanto 100 arcoseg (chamado lente macro).^[7] Para um evento de microlente gravitacional (com massas da ordem de 1 M_☉), procure a distâncias galácticas (digamos D ~ 3 kpc), o raio típico de Einstein seria da ordem de milissegundos. Consequentemente, é impossível observar imagens separadas em eventos de microlente com as técnicas atuais.

Da mesma forma, para o raio de luz inferior que atinge o observador por baixo da lente, temos

${\displaystyle \theta _{2}\;D_{\rm {S}}=-\;\theta _{\rm {S}}\;D_{\rm {S}}+\alpha _{2}\;D_{\rm {LS}}}$

e

${\displaystyle \theta _{2}+\theta _{\rm {S}}={\frac {4G}{c^{2}}}\;{\frac {M}{\theta _{2}}}\;{\frac {D_{\rm {LS}}}{D_{\rm {S}}D_{\rm {L}}}}}$

e assim

${\displaystyle \theta _{2}=-\;\theta _{\rm {S}}+{\frac {\theta _{E}^{2}}{\theta _{2}}}}$

O argumento acima pode ser estendido para lentes que possuem uma massa distribuída, em vez de uma massa pontual, usando uma expressão diferente para o ângulo de curvatura α as posições θ_I(θ_S) das imagens pode ser calculada. Para pequenas deflexões, esse mapeamento é individual e consiste em distorções das posições observadas que são invertíveis. Isso é chamado de lente fraca. Para deflexões grandes, pode-se ter várias imagens e um mapeamento não invertível: isso é chamado de lente forte. Observe que, para que uma massa distribuída resulte em um anel de Einstein, ela deve ser axialmente simétrica.^[8]

Referências

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