Princípio de Maupertuis

Em Mecânica Clássica, o Princípio de Maupertuis (em referência a Pierre Louis Maupertuis) afirma que a trajetória seguida por um sistema físico é aquela com o menor comprimento (levando em conta as definições apropriadas de trajetória e comprimento). É um caso particular do princípio mais geral de Mínima Ação. Usando cálculo variacional, chega-se em uma formulação de equações integrais para as equações de movimento do sistema.

Formulação matemática

O princípio de Maupertuis afirma que o caminho no espaço de fase traçado por um sistema físico descrito por N {\displaystyle N} coordenadas generalizadas, q = ( q 1 , q 2 , . . q N ) {\displaystyle {\bf {q}}=(q_{1},q_{2},..q_{N})} , entre duas posições fixas q 0 {\displaystyle {\bf {q}}_{0}} e q f {\displaystyle {\bf {q}}_{f}} é um extremal de uma ação reduzida

S 0 [ q ( t ) ]   = d e f   ∫ p ⋅ d q {\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}[\mathbf {q} (t)]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \mathbf {p} \cdot d\mathbf {q} }

onde p = ( p 1 , p 2 , … , p N ) {\displaystyle \mathbf {p} =\left(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{N}\right)} são os momentos conjugados das coordenadas generalizadas.

Referências

  • Pierre Louis Maupertuis, Accord de différentes loix de la nature qui avoient jusqu'ici paru incompatibles (original 1744 French text); Accord between different laws of Nature that seemed incompatible (English translation)