Operador escada

Em álgebra linear, e em suas aplicações em mecânica quântica, um operador escada ou operador de escada (tais como os operadores elevador^[1] ou de criação e abaixador^[1] ou de destruição) é um operador que aumenta ou diminui o autovalor de outro operador. Em mecânica quântica, o operador elevador é também é conhecido como operador de criação, enquanto o abaixador é chamado de operador de destruição ou aniquilação. Aplicações dos operadores escada podem ser vistas em mecânica quântica no oscilador harmônico quântico e no momento angular.

Propriedades gerais

Suponhamos que os operadores ${\displaystyle {\hat {X}}\,}$ e ${\displaystyle {\hat {N}}\,}$ tenham uma relação de comutação que é proporcional ao operador ${\displaystyle {\hat {X}}\,}$

${\displaystyle [{\hat {N}},{\hat {X}}]=c{\hat {X}}\,}$

sendo ${\displaystyle c\,}$ um escalar. Se ${\displaystyle |n\rangle }$ é um auto-estado de ${\displaystyle {\hat {N}}}$, ou seja,

${\displaystyle {\hat {N}}|n\rangle =n|n\rangle ,}$

Em seguida, o operador ${\displaystyle {\hat {X}}\,}$ atuará em ${\displaystyle |n\rangle }$, acrescentando assim, ${\displaystyle c}$ ao auto-valor, isto é,

${\displaystyle {\hat {N}}{\hat {X}}|n\rangle }$	${\displaystyle {}=({\hat {X}}{\hat {N}}+[{\hat {N}},{\hat {X}}])|n\rangle }$
	${\displaystyle {}=({\hat {X}}{\hat {N}}+c{\hat {X}})|n\rangle }$
	${\displaystyle {}={\hat {X}}{\hat {N}}|n\rangle +c{\hat {X}}|n\rangle }$
	${\displaystyle {}={\hat {X}}n|n\rangle +c{\hat {X}}|n\rangle }$
	${\displaystyle {}=(n+c){\hat {X}}|n\rangle .}$

Em outras palavras, se ${\displaystyle |n\rangle }$ é um auto-estado de ${\displaystyle {\hat {N}}}$ com auto-valor ${\displaystyle n}$, então ${\displaystyle {\hat {X}}|n\rangle }$ é um auto-estado de ${\displaystyle {\hat {N}}}$ com auto-valor ${\displaystyle n+c}$. O operador ${\displaystyle {\hat {X}}}$ será um operador elevador para ${\displaystyle {\hat {N}}}$ se ${\displaystyle c}$ for real e positivo, e um operador abaixador para ${\displaystyle {\hat {N}}}$ se ${\displaystyle c}$ for real e negativo.

Se ${\displaystyle {\hat {N}}}$ é um operador hermitiano, então ${\displaystyle c}$ deve ser real, sendo que o operador adjunto de ${\displaystyle {\hat {X}}}$ obedece a seguinte relação:

${\displaystyle [{\hat {N}},{\hat {X^{\dagger }}}]=-c{\hat {X^{\dagger }}}.\quad }$

Em particular, se ${\displaystyle {\hat {X}}}$ é um operador abaixador para ${\displaystyle {\hat {N}}}$, então ${\displaystyle {\hat {X^{\dagger }}}}$ é um operador elevador para ${\displaystyle {\hat {N}}}$, e vice-versa.

Referências