Função quadrática

Na álgebra, uma função quadrática, é uma função polinomial associada a um polinômio do segundo grau, então ela possui a mesma forma.

Por exemplo, uma função quadrática univariada (variável única) tem a forma^[1]

${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c,\quad a\neq 0}$

na única variável x . O gráfico de uma função quadrática univariada é uma parábola cujo eixo de simetria é paralelo ao eixo y, como mostrado à direita.

Se a função quadrática for definida como zero, o resultado será uma equação quadrática . As soluções para a equação univariada são chamadas de raízes da função univariada.

O caso bivariável em termos de variáveis x e y tem o formulário

${\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+by^{2}+cxy+dx+ey+f\,\!}$

com pelo menos um de a, b, c diferente de zero, e uma equação definindo esta função igual a zero dá origem a uma seção cônica (um círculo ou outra elipse, uma parábola ou uma hipérbole ).

Uma função quadrática em três variáveis x, y e z contém exclusivamente os termos x ², y ², z ², xy, xz, yz, x, y, z e uma constante:

${\displaystyle f(x,y,z)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j,}$

com pelo menos um dos coeficientes a, b, c, d, e ou f dos termos de segundo grau sendo diferente de zero.

Em geral, pode haver um número arbitrariamente grande de variáveis, caso em que a superfície resultante de definir uma função quadrática como zero é chamada de quádrica, mas o termo de grau mais alto deve ser de grau 2, como x ², xy, yz, etc.

Etimologia

O adjetivo quadrático vem da palavra latina quadrātum (" quadrado "). Um termo como x² é chamado de quadrado em álgebra porque é a área de um quadrado com o lado x .

Terminologia

Nomenclatura Correta

Nunca deve-se chamar uma função quadrática de "função do segundo grau". Pois tal nome da origem a seguinte pergunta: "O que é o grau de uma função?", Nada! pois uma função não possui grau, o que possui grau é um polinômio.

Coeficientes

Os coeficientes de um polinômio são frequentemente considerados números reais ou complexos, mas, na verdade, um polinômio pode ser definido em qualquer anel .

Grau

Ao usar o termo "polinômio quadrático", os autores às vezes querem dizer "tendo grau exatamente 2", e às vezes "tendo grau no máximo 2". Se o grau for menor que 2, isso pode ser chamado de " caso degenerado ". Normalmente, o contexto estabelecerá qual dos dois se refere.

Às vezes, a palavra "ordem" é usada com o significado de "grau", por exemplo, um polinômio de segunda ordem.

Variáveis

Um polinômio quadrático pode envolver uma única variável x (o caso univariado) ou múltiplas variáveis, como x, y e z (o caso multivariado).

O caso de uma variável

Qualquer polinômio quadrático de variável única pode ser escrito como

${\displaystyle ax^{2}+bx+c,\,\!}$

onde x é a variável e a, b e c representam os coeficientes . Na álgebra elementar, esses polinômios costumam surgir na forma de uma equação quadrática ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ . As soluções para essa equação são chamadas de raízes do polinômio quadrático e podem ser encontradas por meio da fatoração, do preenchimento do quadrado, da representação gráfica, do método de Newton ou do uso da fórmula quadrática . Cada polinômio quadrático tem uma função quadrática associada, cujo gráfico é uma parábola .

Caso bivariado

Qualquer polinômio quadrático com duas variáveis pode ser escrito como

${\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+by^{2}+cxy+dx+ey+f,\,\!}$

onde x e y são as variáveis e a, b, c, d, e e f são os coeficientes. Tais polinômios são fundamentais para o estudo de seções cônicas, que se caracterizam por igualar a expressão de f ( x, y ) a zero. Da mesma forma, polinômios quadráticos com três ou mais variáveis correspondem a superfícies quádricas e hipersuperfícies . Na álgebra linear, polinômios quadráticos podem ser generalizados para a noção de uma forma quadrática em um espaço vetorial .

Formas de uma função quadrática univariada

Uma função quadrática univariada pode ser expressa em três formatos: ^[2]

• ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!}$ é chamado de formulário padrão ,
• ${\displaystyle f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!}$ é chamada de forma fatorada, onde r₁ e r₂ são as raízes da função quadrática e as soluções da equação quadrática correspondente.
• ${\displaystyle f(x)=a(x-h)^{2}+k\,\!}$ chama-se a forma de vértice, em que h e k são as coordenadas x e y do vértice, respectivamente.

O coeficiente a é o mesmo valor em todas as três formas. Para converter a forma padrão para a forma fatorada, é necessária apenas a fórmula quadrática para determinar as duas raízes r₁ e r₂ . Para converter a forma padrão em forma de vértice, é necessário um processo chamado preenchimento do quadrado . Para converter a forma fatorada (ou forma de vértice) para a forma padrão, é necessário multiplicar, expandir e / ou distribuir os fatores.

Independentemente do formato, o gráfico de uma função quadrática univariada ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$ é uma parábola (conforme mostrado à direita). Equivalentemente, este é o gráfico da equação quadrática bivariada ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$ .

• Se a > 0, a parábola abre para cima.
• Se a < 0 a parábola se abre para baixo.

O coeficiente a controla o grau de curvatura do gráfico; uma magnitude maior de a dá ao gráfico uma aparência mais fechada (curva acentuada).

Os coeficientes b e a juntos controlam a localização do eixo de simetria da parábola (também a coordenada x do vértice e o parâmetro h na forma do vértice) que está em

${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}.}$

Além disso, o coeficiente b está associado ao termo de grau 1 na função. Se observarmos, há uma função de 1º grau contida na função quadrática, equivalente a ${\displaystyle y^{1}=bx+c}$. O coeficiente b corresponde ao coeficiente angular dessa função ${\displaystyle f(x^{1})=y^{1}}$, a qual é sempre tangente de ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$ na altura c de ${\displaystyle f(x^{2})}$, isto é, no ponto (0,c).

O coeficiente c controla a altura da parábola; mais especificamente, é a altura da parábola onde intercepta o eixo y .

Vértice

O vértice de uma parábola é o lugar onde ela gira; portanto, também é chamado de ponto de inflexão . Se a função quadrática está na forma de vértice, o vértice é (h, k) . Usando o método de completar o quadrado, pode-se virar o formulário padrão

${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!}$

para dentro

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\\&=a(x-h)^{2}+k\\&=a\left(x-{\frac {-b}{2a}}\right)^{2}+\left(c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right),\\\end{aligned}}}$

então o vértice, (h, k), da parábola na forma padrão é

${\displaystyle \left(-{\frac {b}{2a}},c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right).}$

Se a função quadrática estiver na forma fatorada então

${\displaystyle f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!}$

a média das duas raízes, ou seja:

${\displaystyle {\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}\,\!}$

é a coordenada x do vértice e, portanto, o vértice (h, k) é

${\displaystyle \left({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}},f\left({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}\right)\right).\!}$

O vértice também é o ponto máximo se a < 0, ou o ponto mínimo se a > 0 .

A linha vertical:

${\displaystyle x=h=-{\frac {b}{2a}}}$

que passa pelo vértice é também o eixo de simetria da parábola.

Pontos de máximos e mínimos

Usando o cálculo, o ponto do vértice, sendo um máximo ou mínimo da função, pode ser obtido encontrando as raízes da derivada :

${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\quad \Rightarrow \quad f'(x)=2ax+b\,\!.}$

x é uma raíz de f '(x) if f '(x) = 0 resultando em:

${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$

com o valor da função correspondente temos:

${\displaystyle f(x)=a\left(-{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+b\left(-{\frac {b}{2a}}\right)+c=c-{\frac {b^{2}}{4a}}\,\!,}$

então, novamente, as coordenadas do ponto do vértice, (h, k), podem ser expressas como

${\displaystyle \left(-{\frac {b}{2a}},c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right).}$

Raízes da função univariada

Predefinição:Quadratic equation graph key points.svgPredefinição:Quadratic function graph complex roots.svg

Raízes exatas

As raízes (ou zeros ), r₁ e r₂, da função quadrática univariada

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\\&=a(x-r_{1})(x-r_{2}),\\\end{aligned}}}$

são os valores de x para os quais f(x) = 0 .

Quando os coeficientes a, b e c são reais ou complexos, as raízes são

${\displaystyle r_{1}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},}$

${\displaystyle r_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$

Limite superior na magnitude das raízes

O módulo das raízes de um quadrático ${\displaystyle ax^{2}+bx+c\,}$ não pode ser maior que ${\displaystyle {\frac {\max(|a|,|b|,|c|)}{|a|}}\times \phi ,\,}$ Onde ${\displaystyle \phi }$ é a proporção áurea ${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.}$ ^[3] [ importância? ]

A raiz quadrada de uma função quadrática univariada

A raiz quadrada de uma função quadrática univariada dá origem a uma das quatro seções cônicas, quase sempre uma elipse ou uma hipérbole .

E se ${\displaystyle a>0\,\!}$ então a equação ${\displaystyle y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}$ descreve uma hipérbole, como pode ser visto ao quadrado de ambos os lados. As direções dos eixos da hipérbole são determinadas pela ordenada do ponto mínimo da parábola correspondente ${\displaystyle y_{p}=ax^{2}+bx+c\,\!}$ . Se a ordenada for negativa, o eixo principal da hipérbole (por meio de seus vértices) é horizontal, enquanto se a ordenada for positiva, o eixo principal da hipérbole é vertical.

E se ${\displaystyle a<0\,\!}$ então a equação ${\displaystyle y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}$ descreve um círculo ou outra elipse ou nada. Se a ordenada do ponto máximo da parábola correspondente ${\displaystyle y_{p}=ax^{2}+bx+c\,\!}$ é positivo, então sua raiz quadrada descreve uma elipse, mas se a ordenada é negativa, então ela descreve um locus vazio de pontos.

Iteração

Para iterar uma função ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$, aplica-se a função repetidamente, usando a saída de uma iteração como entrada para a próxima.

Nem sempre se pode deduzir a forma analítica de ${\displaystyle f^{(n)}(x)}$, O que significa que a ^enésima iteração ${\displaystyle f(x)}$ . (O sobrescrito pode ser estendido para números negativos, referindo-se à iteração do inverso de ${\displaystyle f(x)}$ se o inverso existe. ) Mas existem alguns casos analiticamente tratáveis .

Por exemplo, para a equação iterativa

${\displaystyle f(x)=a(x-c)^{2}+c}$

uma tem:

${\displaystyle f(x)=a(x-c)^{2}+c=h^{(-1)}(g(h(x))),\,\!}$

Onde

${\displaystyle g(x)=ax^{2}\,\!}$ e ${\displaystyle h(x)=x-c.\,\!}$

Então, por indução,

${\displaystyle f^{(n)}(x)=h^{(-1)}(g^{(n)}(h(x)))\,\!}$

pode ser obtido, onde ${\displaystyle g^{(n)}(x)}$ pode ser facilmente calculado como:

${\displaystyle g^{(n)}(x)=a^{2^{n}-1}x^{2^{n}}.\,\!}$

Finalmente, temos:

${\displaystyle f^{(n)}(x)=a^{2^{n}-1}(x-c)^{2^{n}}+c\,\!}$

como a solução.

Consulte Conjugação topológica para obter mais detalhes sobre a relação entre f e g . E veja Polinômio quadrático complexo para o comportamento caótico na iteração geral.

O mapa logístico

${\displaystyle x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n}),\quad 0\leq x_{0}<1}$

com o parâmetro 2 < r <4 pode ser resolvido em certos casos, um dos quais é caótico e outro não. No caso caótico r = 4, a solução é

${\displaystyle x_{n}=\sin ^{2}(2^{n}\theta \pi )}$

onde o parâmetro de condição inicial ${\displaystyle \theta }$ É dado por ${\displaystyle \theta ={\tfrac {1}{\pi }}\sin ^{-1}(x_{0}^{1/2})}$ . Para racional ${\displaystyle \theta }$, após um número finito de iterações ${\displaystyle x_{n}}$ mapeia em uma seqüência periódica. Mas quase todos ${\displaystyle \theta }$ são irracionais e, para irracionais ${\displaystyle \theta }$, ${\displaystyle x_{n}}$ nunca se repete – não é periódico e exibe uma dependência sensível das condições iniciais, por isso é considerado caótico.

A solução do mapa logístico quando r = 2 é

${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}(1-2x_{0})^{2^{n}}}$

para ${\displaystyle x_{0}\in [0,1)}$ . Desde a ${\displaystyle (1-2x_{0})\in (-1,1)}$ para qualquer valor de ${\displaystyle x_{0}}$ diferente do ponto fixo instável 0, o termo ${\displaystyle (1-2x_{0})^{2^{n}}}$ vai para 0 enquanto n vai para o infinito, então ${\displaystyle x_{n}}$ vai para o ponto fixo estável ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}.}$

Função quadrática bivariada (duas variáveis)

Uma função quadrática bivariada é um polinômio de segundo grau da forma

${\displaystyle f(x,y)=Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+Exy+F\,\!}$

onde A, B, C, D e E são coeficientes fixos e F é o termo constante. Essa função descreve uma superfície quadrática. Configuração ${\displaystyle f(x,y)\,\!}$ igual a zero descreve a interseção da superfície com o plano ${\displaystyle z=0\,\!}$, que é um locus de pontos equivalente a uma seção cônica .

Mínimo/máximo

E se ${\displaystyle 4AB-E^{2}<0\,}$ a função não tem máximo ou mínimo; seu gráfico forma um parabolóide hiperbólico.

E se ${\displaystyle 4AB-E^{2}>0\,}$ a função tem um mínimo se A > 0 e um máximo se A <0; seu gráfico forma um parabolóide elíptico. Neste caso, o mínimo ou máximo ocorre em ${\displaystyle (x_{m},y_{m})\,}$ Onde:

${\displaystyle x_{m}=-{\frac {2BC-DE}{4AB-E^{2}}},}$

${\displaystyle y_{m}=-{\frac {2AD-CE}{4AB-E^{2}}}.}$

E se ${\displaystyle 4AB-E^{2}=0\,}$ e ${\displaystyle DE-2CB=2AD-CE\neq 0\,}$ a função não tem máximo ou mínimo; seu gráfico forma um cilindro parabólico.

E se ${\displaystyle 4AB-E^{2}=0\,}$ e ${\displaystyle DE-2CB=2AD-CE=0\,}$ a função atinge o máximo / mínimo em uma linha - um mínimo se A > 0 e um máximo se A <0; seu gráfico forma um cilindro parabólico.

Veja também

• Forma quadrática
• Equação quadrática
• Representação matricial de seções cônicas
• Quadric
• Pontos periódicos de mapeamentos quadráticos complexos
• Lista de funções matemáticas

Referências

• Álgebra 1, Glencoe,ISBN 0-07-825083-8
• Álgebra 2, Saxon,ISBN 0-939798-62-X

Ligações externas

• Weisstein, Eric W. "Quadratic". MathWorld.