Folium de Descartes

Folium de Descartes para o parâmetro a=1

Em geometria, o Folium de Descartes é uma curva algébrica definida pela equação

x 3 + y 3 − 3 a x y = 0 {\displaystyle x^{3}+y^{3}-3axy=0\,} .

A curva faz um laço no primeiro quadrante com um ponto duplo na origem e assíntota

x + y + a = 0 {\displaystyle x+y+a=0\,} .

A curva é simétrica para y = x {\displaystyle y=x} .

Seu nome vem do latim folium que significa "folha".

A curva foi representada, juntamente com um retrato de Descartes, em um selo da Albânia em 1966.

História

O folium foi proposto pela primeira vez por Descartes em 1638. A curva tornou-se famosa através de um incidente ocorrido durante o desenvolvimento do cálculo diferencial e integral. Descartes desafiou Fermat a encontrar a reta tangente à referida curva em um ponto arbitrário, uma vez que Fermat acabara de descobrir um método para encontrar retas tangentes. Fermat resolveu o problema facilmente, algo que Descartes foi incapaz de fazer.[1] Desde que o cálculo foi inventado, a inclinação de uma reta tangente pode ser facilmente encontrada através da diferenciação implícita.

Representando a curva graficamente

Uma vez que a equação é de 3º grau tanto em x como em y, e não pode ser fatorada, é difícil resolvê-la para uma das variáveis. No entanto, a equação em coordenadas polares é:

r = 3 a sin ⁡ θ cos ⁡ θ sin 3 ⁡ θ + cos 3 ⁡ θ . {\displaystyle r={\frac {3a\sin \theta \cos \theta }{\sin ^{3}\theta +\cos ^{3}\theta }}.}

que pode ser plotada com facilidade. Outra técnica é escrever y = px e resolver para x e y em termos de p. Este método origina as equações paramétricas

x = 3 a p 1 + p 3 , y = 3 a p 2 1 + p 3 {\displaystyle x={{3ap} \over {1+p^{3}}},\,y={{3ap^{2}} \over {1+p^{3}}}} .

Pode-se notar que o parâmetro p está relacionado com o vetor posição da curva da seguinte forma:

  • p < -1 corresponde ao "braço" inferior direito.
  • -1 < p < 0 corresponde ao "braço" superior esquerdo.
  • p > 0 corresponde ao laço da curva.

Relação com a trissectriz de MacLaurin

O folium de Descartes relaciona-se com a trissectriz de Maclaurin por transformações afins. Para vermos isso, comecemos com a equação

x 3 + y 3 = 3 a x y {\displaystyle x^{3}+y^{3}=3axy\,} ,

E façamos uma mudança de variáveis para encontrar a equação em um sistema de coordenadas girado de 45 graus.

Isto equivale a definir: x = X + Y 2 , y = X − Y 2 . {\displaystyle x={{X+Y} \over {\sqrt {2}}},\,y={{X-Y} \over {\sqrt {2}}}.} No plano X , Y {\displaystyle X,Y} a equação é

2 X ( X 2 + 3 Y 2 ) = 3 2 a ( X 2 − Y 2 ) {\displaystyle 2X(X^{2}+3Y^{2})=3{\sqrt {2}}a(X^{2}-Y^{2})} .

Se multiplicarmos a direção Y {\displaystyle Y} por um fator de 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} , temos

2 X ( X 2 + Y 2 ) = a 2 ( 3 X 2 − Y 2 ) {\displaystyle 2X(X^{2}+Y^{2})=a{\sqrt {2}}(3X^{2}-Y^{2})}

que é a equação para a trissectriz de Maclaurin.

Referências

  • Este artigo foi inicialmente traduzido, total ou parcialmente, do artigo da Wikipédia em inglês cujo título é «Folium of Descartes», especificamente desta versão.
  1. ↑ George F. Simmons Calculus Gems: Brief Lives and Memorable Mathematics (2007 MAA) p 101 [1]
  • «Richard L. Amoroso Fe, Fi, Fo, Folium: A Discourse on Descartes' Mathematical Curiosity» (PDF) 
  • J. Dennis Lawrence (1972). A catalog of special plane curves. [S.l.]: Dover Publications. pp. 106–108. ISBN 0-486-60288-5 
  • Weisstein, Eric W. «Folium of Descartes» (em inglês). MathWorld 
  • «"Folium of Descartes" at MacTutor's Famous Curves Index»