Fórmula de De Moivre

A fórmula de De Moivre afirma que^[1]:

${\displaystyle (\cos x+i\mathrm {sen} \,x)^{n}=\cos(nx)+i\mathrm {sen} \,(nx)\,\forall x\in \Re \land \forall n\in Z}$

Esta fórmula é importante porque estabelece uma ligação entre números complexos (i é a unidade imaginária) com a trigonometria. A expressão:

${\displaystyle \cos \left(x\right)+i\mathrm {sen} \,\left(x\right)}$

é frequentemente abreviada por:

${\displaystyle \mathrm {cis} \left(x\right)}$.

ainda que a fórmula de Euler seja uma maneira mais comum de a descrever.

Abraham de Moivre foi amigo de Newton; em 1698 este último escreveu que esta fórmula era do seu conhecimento desde 1676.

A fórmula de De Moivre pode ser obtida da fórmula de Euler:

${\displaystyle e^{ix}=\cos \left(x\right)+i\mathrm {sen} \,\left(x\right)}$

embora historicamente seja anterior a esta. Ela é um caso particular da expressão mais geral^[1]:

${\displaystyle (|z|(\cos x+i\mathrm {sen} x))^{n}=|z|^{n}\left(\cos(nx)+i\mathrm {sen} (nx)\right)\,\forall x\in \Re \land \forall n\in Z}$

Demonstração

Vamos demonstrar^[2] a fórmula para ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ por indução e, depois generalizar, não recorrendo à fórmula de Euler. Queremos provar que

${\displaystyle z^{n}=(|z|(\cos x+i\mathrm {sen} x))^{n}=|z|^{n}\left(\cos(nx)+i\mathrm {sen} (nx)\right).\,\forall x\in \Re }$, ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ e com ${\displaystyle z}$ sendo um número complexo.

Para ${\displaystyle n=1}$ a identidade é verdadeira, pois tem-se ${\displaystyle z=|z|\left(\cos x+i\sin x\right)}$, que é a representação na forma polar de um número complexo (com ${\displaystyle r=|z|}$ e ${\displaystyle \theta =x}$).

Suponhamos agora que a propriedade se verifica para ${\displaystyle n=k}$ e provemos que também o é para ${\displaystyle n=k+1}$. Temos:

${\displaystyle z^{k+1}=zz^{k}=|z|^{k+1}\left(\cos x\cos(kx)+i(\cos x\sin(kx)+\sin x\cos(kx))-\sin x\sin(kx)\right)=|z|^{k+1}\left(\cos(x(k+1))+i\sin \left(k(x+1)\right)\right)}$

Conseguimos provar que a fórmula se verifica, recorrendo às fórmulas ${\displaystyle \cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b}$ e ${\displaystyle \sin(a+b)=\cos a\sin b+\sin a\cos b}$.

Queremos agora generalizar para ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$. Para n=0 a propriedade é imediata se convencionarmos ${\displaystyle z^{0}=1}$

Consideremos ${\displaystyle m=-n\in \mathbb {N} }$. Então:

${\displaystyle z^{n}=(z^{-1})^{m}={\frac {1}{|z|^{m}}}\left(\cos -x+i\sin -x\right)^{m}}$

Em que aplicámos propriedades dos complexos relacionadas com a potenciação e o quociente. Repare-se que agora estamos perante ${\displaystyle -x}$ e não ${\displaystyle x}$. Agora:

${\displaystyle {\frac {1}{|z|^{m}}}\left(\cos -x+i\sin -x\right)^{m}=|z|^{-m}\left(\cos -mx+isin-mx\right)}$

Aplicámos apenas a fórmula que já demonstrámos para os números naturais, uma vez que, como ${\displaystyle n}$ é negativo, ${\displaystyle m}$ é positivo (natural).

Substituindo de volta por ${\displaystyle n=-m}$:

${\displaystyle z^{n}=|z|^{n}\left(\cos nx+i\sin nx\right),\forall n\in \mathbb {Z} }$, Q.E.D.

Destaque para o facto de a fórmula de De Moivre ser um caso particular para ${\displaystyle |z|=1}$

Referências