Uma equação diferencial ordinária de primeira ordem é uma equação diferencial ordinária da seguinte forma:
![{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=f(x,t),t\in D\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46e9ac55a27d3942964788b73a539d827ded769f)
onde
é dada e a incógnita é a função
. O domínio
pode ser um intervalo ou a reta real inteira.
Quando a função
não depende explicitamente sobre a variável independente
e o problema pode ser escrito na seguinte forma:
![{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=f(x),t\in D\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bedd65265d53a8d2ced272e5aafcaff99eb491e1)
então diz-se que se trata de um sistema autônomo de primeira ordem.
Exemplos
Equação | Solução | Domínio |
![{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=t\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/582c25cb7526dd2005371e35fdef288c6676641c) | ![{\displaystyle x(t)={\frac {t^{2}}{2}}+C\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e45a431a6de9f312ebf07155b5ae02955a4c67a) | |
![{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=x\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5974b9558ff5b81eada2614564290379ea0b2034) | ![{\displaystyle x(t)=Ce^{t}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d78e3436de08db6c645437d0202913b98ee9317b) | |
![{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=xt\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a09819ef09fd8428e03cc35c99eaf12ae09f8552) | ![{\displaystyle x(t)=Ce^{t^{2}/2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/421cf9feffe2fe6ccdeb2dfe5a301ad6b31f447a) | |
![{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=x^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c2eadfc01b5060e09f8c534ba2ed48ecc293b45) | ![{\displaystyle x(t)={\frac {1}{C-t}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfb68859f106cf206274607116d01a661f223e28) | |
Em todos os casos a constante de integração
é arbitrária
O problema de valor inicial
O problema de valor inicial para a equação diferencial ordinária de primeira ordem consiste em encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial dada e assume a condição inicial no ponto inicial do intervalo:
![{\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcl}{\frac {dx(t)}{dt}}&=&f(x,t),~~~x>t_{0}\\x(t_{0})&=&u_{0}\end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b8a5cfba62c588fc5a114f76e82eb2d5cfa8ca2)
Exemplo
![{\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcl}{\frac {dx(t)}{dt}}&=&x,~~~t>0\\x(t=0)&=&1\end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84c36bc5223f1927fb8f6be54520d92208b30d11)
A (única) solução desta equação diferencial é dada por
![{\displaystyle x(t)=e^{t}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/524a206718079b9dd2fde861590c588418675bad)
O teorema de Picard-Lindelöf
O teorema de Picard-Lindelöf estabelece a existência e unicidade de soluções em uma vizinhança de
para o problema de valor inicial:
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}{\frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t),t)\\x(t_{0})=x_{0}\end{array}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/614ae5ef0db3863ecc385368bd6cbaa4613f3e15)
onde
é uma função contínua na variável
e Lipschitz contínua na variável
.
O problema de valores contorno
O problema de valores de contorno para a equação diferencial ordinária de primeira ordem consiste em encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial dada em um intervalo
e cujos valores nos extremos
e
satisfazem uma condição dada:
![{\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcl}{\frac {dx(t)}{dt}}&=&f(x,t),~~~x>t_{0}\\B(x(t_{0}),x(t_{1}))&=&0\end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb087eec76e0edb7a355ac225f558ac2a1f15d28)
Exemplo
![{\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcl}{\frac {dx(t)}{dt}}&=&x,~~~t>0\\x(0)-2x(1)&=&1\end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c572207453d837f9dd7b0b2a92b7a9ebe5f856aa)
A (única) solução desta equação diferencial é dada por
![{\displaystyle x(t)={\frac {e^{t}}{1-2e}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3b393127893d691fc3cc113fc5df02355578454)
Equação linear
O caso linear acontece quando a função
é da seguinte forma:
![{\displaystyle f(x,t)=\phi (t)+x\psi (t)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b61f5c35a4460caa851faa6b714a4a3596dd4a09)
A equação fica, então:
![{\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}}-x(t)\psi (t)=\phi (t)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/824a8a509b1fae5cb9ecb2ad305a278b54d8dba5)
Esta equação pode ser resolvida multiplicando pelo fator integrante:
![{\displaystyle \left({\frac {dx(t)}{dt}}-x(t)\psi (t)\right)e^{-\int _{0}^{t}\psi (\tau )d\tau }=\phi (t)e^{-\int _{0}^{t}\psi (\tau )d\tau }\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/629aca18e4b49e297241ed375800ac6d5cf79e26)
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(x(t)e^{-\int _{0}^{t}\psi (\tau )d\tau }\right)=\phi (t)e^{-\int _{0}^{t}\psi (\tau )d\tau }\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/090ed41f0475c5d670be8cc20f8bdb63769a0afc)
então, integrando, temos:
![{\displaystyle x(t)e^{-\int _{0}^{t}\psi (\tau )d\tau }=x(0)+\int _{0}^{t}\phi (s)e^{-\int _{0}^{s}\psi (\tau )d\tau }ds\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f356c85a69c37b7dcf33a3f90db392d17fc4e9a)
ou, equivalentemente:
![{\displaystyle x(t)=x(0)e^{\int _{0}^{t}\psi (\tau )d\tau }+\int _{0}^{t}\phi (s)e^{\int _{s}^{t}\psi (\tau )d\tau }ds\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33c58069e5e207e63e6297d659b652eef42f5457)
Equações de variáveis separáveis
Uma equação é designada de variáveis separáveis, se puder ser escrita na forma: [1]
Para resolver este tipo de equação primeiro observemos que a primitiva da função
pode ser calculada da seguinte forma
A equação diferencial pode ser escrita como
e a primitiva em ordem a
do lado esquerdo é igual à primitiva em ordem a
de
como acabamos de ver
As equações do tipo
onde
e
são constantes, não são equações de variáveis separáveis, mas podem ser reduzidas a elas por meio da seguinte substituição[1]
Equações exatas
Qualquer equação de primeira ordem pode ser escrita em forma diferencial:[1]
esta forma é semelhante à expressão da diferencial de uma função de duas variáveis
Esta equação sugere-nos admitir que existe uma função
cujas derivadas parciais são iguais a
e
.[1] No entanto, a segunda derivada parcial de
seria
Assim, para que a conjetura da existência da função
seja consistente, é necessário que as funções
e
verifiquem a seguinte condição
nesse caso diz-se que a equação é uma equação exata e pode ser escrita como
sendo a sua solução geral
A função
calcula-se encontrando a função cujas derivadas parciais sejam iguais a
e
.[1]
Equações homogêneas
Uma equação de primeira ordem diz-se homogénea se tiver a seguinte forma geral[1]
para resolver este tipo de equação usa-se a substituição
a qual transforma a equação numa equação de variáveis separáveis. Para reconhecer facilmente se uma função racional é da forma
observam-se os expoentes de cada termo no numerador e denominador (soma do expoente de
mais o expoente de
) os quais deverão ser iguais. Por exemplo das duas funções seguintes a primeira tem a forma
mas a segunda não
Existem outras equações que podem ser reduzidas a equações homogêneas. Um exemplo típico é a equação
onde
e
são constantes dadas.[1] Se as constantes
e
fossem nulas, a equação seria homogênea; definimos um novo sistema de coordenadas
para substituir
, de forma a obter
ou de forma equivalente
a solução deste sistema de equações lineares pode ser obtido por meio da regra de Cramer
como os lados direitos da equação e da equação são constantes, também temos que
,
e a equação diferencial transforma-se numa equação homogênea
Não-unicidade de soluções
Algumas equações diferenciais ordinárias de primeira ordem admitem duas soluções distintas que satisfazem a mesma condição inicial. Um exemplo simples de um equação que apresenta esse fenômeno é seguinte:
![{\displaystyle {\begin{array}{l}{\frac {dx}{dt}}={\sqrt {x}},~t>0\\x(0)=0\end{array}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/474d4349b8e7806d8360a4e45ebfb9d35c5f31d6)
Esta admite como solução qualquer função da seguinte forma:
![{\displaystyle {\begin{array}{lclc}x(t)&=&0,&0\leq t\leq t_{0}\\x(t)&=&{\frac {t^{2}}{4}},&t\geq 0\end{array}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f9856e232a4c2b6006b4c561b6f81a23870a623)
aqui
é uma constante positiva qualquer.
Divergência em tempo finito
Algumas equações diferenciais ordinárias de primeira ordem apresentam uma solução que diverge em tempo finito. Um exemplo é a seguinte equação:
![{\displaystyle {\begin{array}{l}{\frac {dx}{dt}}=x^{2},~t>0\\x(0)=1\end{array}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a45208f5c70d1d8f1d5da4fe5b02670f99d5c1bf)
Esta admite como solução qualquer função da seguinte forma:
![{\displaystyle x(t)={\frac {1}{1-t}},0\leq t<1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dc8128f829d98b94a5b583be3dbed0cbdac77c6)
Referências
- ↑ a b c d e f g Villate, Jaime E. (2011). Equações Diferenciais e Equações de Diferenças (PDF). Porto: [s.n.] 120 páginas. Consultado em 13 de julho de 2013
Ver também
Ligações externas
- Eric W. Weisstein, First-Order Ordinary Differential Equation no MathWorld.
|
---|
Sistema de equações diferenciais
| | |
---|
Equações diferenciais parciais | |
---|
Métodos analíticos | |
---|
Métodos numéricos | |
---|
Pessoas | |
---|
Outros | |
---|