Equação diferencial exata

Este artigo trata de equação diferencial ordinária exata no sentido denotativo, para possível sentido conotativo, que pode causar confusão, ver equações diferenciais estocásticas.

Uma Equação diferencial ordinária é dita exata^[1] quando é possível colocá-la na seguinte forma:

${\displaystyle M(x,y)dx+N(x,y)dy=0}$

e

${\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial y}}={\frac {\partial N}{\partial x}}}$

com ${\displaystyle M}$ e ${\displaystyle N}$ funções diferenciáveis e integráveis.

Teorema

O seguinte teorema fornece um método sistemático de determinar se uma equação diferencial dada é exata.^[2]

Suponha que as funções ${\displaystyle M,N,M_{y}}$ e ${\displaystyle N_{x}}$, onde os índices denotam derivadas parciais, são contínuas na região conexa ${\displaystyle R:\ \ \alpha <x<\beta ,\ \ \lambda <y<\sigma }$.

Então, a equação

${\displaystyle M(x,y)dx+N(x,y)dy=0}$

é uma equação diferencial exata em ${\displaystyle R}$ se, e só se,

${\displaystyle {\frac {\partial M(x,y)}{\partial y}}={\frac {\partial N(x,y)}{\partial x}}}$ (1)

em cada ponto de R.

Isto é, existe uma função ${\displaystyle F(x,y)}$ que satisfaz as equações,

${\displaystyle {\frac {\partial F(x,y)}{\partial x}}=M(x,y)}$

${\displaystyle {\frac {\partial F(x,y)}{\partial y}}=N(x,y)}$

se, e só se, ${\displaystyle M}$ e ${\displaystyle N}$ satisfazem (1), pois^[2]

${\displaystyle {\frac {\partial F(x,y)}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial F(x,y)}{\partial y\partial x}}}$

Método de Solução

Uma equação diferencial ordinária do tipo

${\displaystyle M(x,y)dx+N(x,y)dy=0}$

é equivalente a

${\displaystyle M(x,y)+N(x,y)y'=0}$, pois ${\displaystyle y'={\frac {dy}{dx}}}$

Se ela for uma equação exata, teremos que ${\displaystyle {\frac {M}{\partial y}}={\frac {N}{\partial x}}}$.

Então podemos supor que há uma função ${\displaystyle F}$ de modo que ${\displaystyle {\frac {\partial {F}}{\partial {x}}}=M(x,y)}$.

Assim, para obter essa função basta integrar ${\displaystyle M(x,y)}$em relação a ${\displaystyle x}$.

${\displaystyle F=\int {M(x,y)dx}+g(y)}$. Note-se que ${\displaystyle g(y)}$ é a constante de integração, e como não depende de ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(g(y)\right)=0}$.

Agora podemos derivar ${\displaystyle F}$ na direção de ${\displaystyle y}$ supondo que ${\displaystyle {\frac {\partial {F}}{\partial {y}}}=N(x,y)}$. Assim, obtemos:

${\displaystyle {\frac {\partial {F}}{\partial {y}}}={\frac {\partial }{\partial {y}}}\int {M(x,y)dx+g'(y)}=N(x,y)}$.

Isolando ${\displaystyle g'(y)}$ temos:

${\displaystyle g'(y)=N(x,y)-{\frac {\partial }{\partial {y}}}\int {M(x,y)dx}}$

Então, por fim, integramos ${\displaystyle g'(y)}$ na direção de ${\displaystyle y}$, de modo a obter:

${\displaystyle g(y)=\int \left({N(x,y)-{\frac {\partial }{\partial {y}}}\int {M(x,y)dx}}\right)dy}$

Ou seja

${\displaystyle F=\int {M(x,y)dx}+g(y)=\int {M(x,y)dx}+\int \left({N(x,y)-{\frac {\partial }{\partial {y}}}\int {M(x,y)dx}}\right)dy}$

E, finalmente, a solução da equação diferencial é a função implícita ${\displaystyle F(x,y)=c}$^[1]

Exemplo

Resolvamos a equação Diferencial Ordinária    ${\displaystyle y'={\frac {dy}{dx}}={\frac {-(2x+y^{2})}{(2x+1)y}}}$.

Temos:

${\displaystyle (2x+y^{2})dx+(2xy+y)dy=0}$,

onde

${\displaystyle M=(2x+y^{2})}$ e ${\displaystyle N=(2xy+y)}$.

Logo, ${\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial y}}=2y={\frac {\partial N}{\partial x}}}$, donde se conclui que é exata.

Pelo corolário acima, ∃F(x,y), então:

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}=M=2x+y^{2}}$.

Integrando em relação a x:

${\displaystyle F(x,y)=x^{2}+xy^{2}+f(y)}$, em que f(y) é uma função de y.

Além disso, ${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial y}}=N=2xy+f'(y)=2xy+y}$. Então ${\displaystyle f'(y)=y}$.

Integrando em relação a y, temos: ${\displaystyle f(y)={\frac {y^{2}}{2}}+c}$, c constante.

Logo, pelo corolário, a função F é:

${\displaystyle F(x,y)=x^{2}+xy^{2}+{\frac {y^{2}}{2}}+c}$

A solução da equação diferencial exata é ${\displaystyle F(x,y)=0}$ ou seja

${\displaystyle x^{2}+xy^{2}+{\frac {y^{2}}{2}}+c=0}$

Exemplo no plano

Considere uma função diferenciável

${\displaystyle z=F(x,y);(x,y)\in \Omega \subset {\mathbf {R} }^{2}}$ da qual pode-se deduzir a expressão diferencial exata

${\displaystyle dz={\frac {\partial F}{\partial x}}dx+{\frac {\partial F}{\partial y}}dy}$

A expressão que deu origem à equação, ${\displaystyle z=F(x,y)}$, representa uma superfície de um tipo especial, pois é o gráfico de uma função diferenciável.

Esta superfície, quando cortada pelo plano (de altura) constante ${\displaystyle z=C}$ equivale a resolver o sistema de equações:

${\displaystyle {\begin{array}{ll}z=C\\z=F(x,y)\\\end{array}}}$

Geometricamente falando, o resultado desta interseção é uma curva no espaço, obtida pela interserção de duas superfícies. Como o plano é paralelo ao plano ${\displaystyle XOY}$ então há uma projeção desta curva espacial sobre o domínio ${\displaystyle \Omega }$ de ${\displaystyle z=F(x,y)}$ que chamamos curva de nível. Observe que se pode representar a interseção escrevendo

${\displaystyle F(x,y)=C}$

Diferenciando esta última equação, obtemos:

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}dx+{\frac {\partial F}{\partial y}}dy=0}$

Esta última expressão é a que em geral temos, a equação diferencial exata. Quer dizer, resolver uma equação diferencial exata consiste em recuperar, se for possível, a função cuja diferencial se encontra expressa na equação.

Mas não é nesta forma canônica, das equações diferenciais exatas, uma das razões disso é que ela podem representar formas não exatas. A forma canônica é

${\displaystyle P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0}$

Esta equação é dita exata se existe uma função ${\displaystyle w=F(x,y)}$ tal que

${\displaystyle {\begin{array}{l}P(x,y)={\frac {\partial F}{\partial x}}\\Q(x,y)={\frac {\partial F}{\partial y}}\\\end{array}}}$

Resolver, então, a equação diferencial exata consiste em descobrir ${\displaystyle F}$ a partir de suas derivadas parciais.

Referências

• Theresa M. Korn; Korn, Granino Arthur. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers:Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review. New York: Dover Publications, 157-160. ISBN 0-486-41147-8

Ver também

• Método do fator integrante
• Equações separáveis
• Método da variação de parâmetros
• Redução de ordem
• Coeficientes a determinar
• Métodos numéricos/Equações diferenciais ordinárias (wikilivro)