Domínio de integridade

 Nota: Não confundir com Domínio (matemática).

Um domínio de integridade (ou anel de integridade)é um anel ${\displaystyle (D,+,.)}$ com as seguintes propriedades adicionais:

1. ${\displaystyle \exists 1\in D\ (1\neq 0\land \forall x\in D\ (1.x=x.1=x))}$ (elemento neutro)
2. ${\displaystyle \forall x,y\in D\ (x.y=y.x)}$ (comutatividade)
3. ${\displaystyle \forall x,y\in D\ (x.y=0\rightarrow (x=0\lor y=0))}$ (não existem divisores de zero)

Exemplos

• O conjunto dos números inteiros ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• Todo corpo é um domínio de integridade
• Analogamente, todo domínio de integridade finito é um corpo: seja a um elemento não-nulo de um domínio de integridade finito D. Então a função ${\displaystyle f:D\to D,f(x)=ax}$ é injetiva (caso contrário, f(x) = f(y), a x = a y logo a (x - y) = 0 e D teria divisores de zero), logo sobrejetiva, portanto existe b tal que f(b) = 1.
• Para qualquer corpo ou domínio de integridade D, o anel dos polinômios D[x] é um domínio de integridade.
• Os anéis finitos ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ não são domínios de integridade quando n for um número composto, porque sendo ${\displaystyle n=a\ b,}$ então em ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}{\mbox{ , }}a\ b=0.}$ Quando n for um número primo, ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ é um corpo (logo, é um domínio de integridade).

Corpo de frações

Ver artigo principal: Corpo de frações

Para todo domínio de integridade D existe um corpo K, ${\displaystyle D\subseteq K,}$ tal que todo elemento de K pode ser escrito da forma a/b, sendo ${\displaystyle a,b\in D.}$

Este é o corpo de frações de D, e é único no seguinte sentido algébrico: se ${\displaystyle K_{1}}$ é outro corpo ${\displaystyle K_{1}\supseteq D}$ em que todo elemento de ${\displaystyle K_{1}}$ pode ser escrito como a/b com ${\displaystyle a,b\in D,}$ então K e ${\displaystyle K_{1}}$ são isomorfos.

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