Diferencial de uma função

Em cálculo, o diferencial representa a parte principal da variação de uma função y = f(x) com relação à variações na variável independente. O diferencial dy é definido por

d y = f ′ ( x ) d x , {\displaystyle dy=f'(x)\,dx,}
na qual, f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} é a derivada de f em relação a x, e dx é uma variável real extra (de modo que dy é uma função de x e de dx). A notação é tal que a equação
d y = d y d x d x {\displaystyle dy={\frac {dy}{dx}}\,dx}
é válida. A derivada é representada na notação de Leibniz dy/dx, e isso é consistente com o tratamento da derivada como um quociente de diferenciais. Também se escreve
d f ( x ) = f ′ ( x ) d x . {\displaystyle df(x)=f'(x)\,dx.}
O significado preciso das variáveis dy e dx depende do contexto da aplicação e o nível de rigor matemático exigido. O domínio destas variáveis pode ter um significado geométrico particular se o diferencial é considerado como uma forma diferencial particular, ou um significado analítico se o diferencial é considerado como uma aproximação linear para o incremento de uma função. Tradicionalmente, as variáveis dx e dy são consideradas muito pequenas (infinitesimais), e esta interpretação é formalizada em análise não padronizada.

Definição

Uma função f : R n → R m {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} se diz diferenciável no ponto a ∈ R n {\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}} se existe uma aplicação linear ℓ : R n → R m {\displaystyle \ell :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} tal que:

lim x → a f ( x ) − f ( a ) − ℓ ( x − a ) | | x − a | | = 0. {\displaystyle \lim _{x\to a}{\dfrac {f(x)-f(a)-\ell (x-a)}{||x-a||}}=0.}

Em tal caso, ℓ = ℓ ( a ) {\displaystyle \ell =\ell (a)} denota-se D f ( a ) {\displaystyle Df(a)} e se denomina a diferencial da função f {\displaystyle f} no ponto a . {\displaystyle a.}

Referências

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Ligações externas

  • Diferencial de uma funçãono projeto Wolfram Demonstrations