Corpo algebricamente fechado

Em Matemática, um corpo ${\displaystyle F}$ diz-se algebricamente fechado se qualquer polinómio de uma variável e grau maior ou igual a ${\displaystyle 1}$, com coeficientes em ${\displaystyle F}$, tiver uma raiz em ${\displaystyle F}$.

Por exemplo, o corpo dos números reais não é algebricamente fechado, pois a equação polinomial

${\displaystyle 3x^{2}+1=0}$

não tem soluções reais, apesar de os seus coeficientes (${\displaystyle 3}$ e ${\displaystyle 1}$) serem reais. O mesmo argumento mostra que o corpo dos números racionais não é algebricamente fechado. Nenhum corpo finito ${\displaystyle F}$ é algebricamente fechado, pois se ${\displaystyle a_{1}}$, ${\displaystyle a_{2}}$, …, ${\displaystyle a_{n}}$ forem os elementos de ${\displaystyle F}$, o polinómio

${\displaystyle (x-a_{1})(x-a_{2})}$ ··· ${\displaystyle (x-a_{n})+1}$

não tem nenhuma raiz em ${\displaystyle F}$. Em contrapartida, o corpo dos números complexos é algebricamente fechado; é isto que afirma o teorema fundamental da álgebra. Outro exemplo de corpo algebricamente fechado é o corpo dos números algébricos.

Dado um corpo ${\displaystyle F}$, a afirmação «${\displaystyle F}$ é algebricamente fechado» é equivalente a cada uma das seguintes:

• Qualquer polinómio ${\displaystyle p(x)}$ de grau ${\displaystyle n}$ ≥ ${\displaystyle 1}$, com coeficientes em ${\displaystyle F}$,é produto de polinómios de primeiro grau. Posto de outro modo, há elementos ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$, …, ${\displaystyle x_{n}}$ de ${\displaystyle F}$ tais que

${\displaystyle p(x)=k(x-x_{1})(x-x_{2})}$ ··· ${\displaystyle (x-x_{n})}$.

• O corpo ${\displaystyle F}$ não tem nenhuma extensão algébrica própria.
• Para cada número natural ${\displaystyle n}$, qualquer aplicação linear de ${\displaystyle F^{n}}$ em si próprio tem algum vector próprio.
• Qualquer função racional de uma variável ${\displaystyle x}$, com coeficientes em ${\displaystyle F}$ pode ser escrita como soma de uma função polinomial com funções racionais da forma ${\displaystyle a/(x+b)^{n}}$, sendo ${\displaystyle n}$ um número natural e ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ pertencem a ${\displaystyle F}$.

Se ${\displaystyle F}$ for um corpo algebricamente fechado, se ${\displaystyle a}$ for um elemento de ${\displaystyle F}$ e se ${\displaystyle n}$ for um número natural, então ${\displaystyle a}$ tem alguma raiz de ordem ${\displaystyle n}$ em ${\displaystyle F}$, pois isto é o mesmo que afirmar que a equação ${\displaystyle x^{n}-a=0}$ tem alguma raiz em ${\displaystyle F}$. No entanto, há corpos nos quais qualquer elemento tem alguma raiz de ordem ${\displaystyle n}$ (para cada número natural ${\displaystyle n}$) mas que não são algebricamente fechados. De facto, nem mesmo supor que qualquer polinómio do tipo ${\displaystyle x^{n}-a}$ se pode escrever como produto de polinómios de primeiro grau é suficiente para garantir que o corpo é algebricamente fechado.

Como conseqüência do axioma da escolha, qualquer corpo ${\displaystyle F}$ tem um fecho algébrico, que é o menor corpo algebricamente fechado do qual ${\displaystyle F}$ é um subcorpo.

Bibliografia

• S. Lang, Algebra, Springer-Verlag, 2004, ISBN 0-387-95385-X
• B. L. van der Waerden, Algebra I, Springer-Verlag, 1991, ISBN 0-387-97424-5