Convergência uniforme

Em matemática, em particular na análise funcional, a convergência uniforme é um conceito mais forte que a convergência pontual, para definir se o limite de uma sequência de funções existe.

Definição

Como comparação, uma sequência de funções ${\displaystyle f_{n}(x):S\rightarrow \mathbb {R} \,}$ converge pontualmente para uma função ${\displaystyle f:S\rightarrow \mathbb {R} \,}$ se, e somente se:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0{\text{ e }}\forall x\in S\ \ \exists N\in \mathbb {N} {\text{ tal que }}\forall n>N{\text{ temos que }}|f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon \,}$.

A sequência converge uniformemente quando:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} {\text{ tal que }}\forall x\in S{\text{ e }}\forall n>N{\text{ temos que }}|f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon \,}$

Essa diferença é importante: para provar a convergência pontual, basta escolher um N para cada ${\displaystyle \varepsilon \,}$ e cada x. Para provar a convergência uniforme, é preciso escolher, para cada ${\displaystyle \varepsilon \,}$ um N que se aplica a todo x.

É fácil ver que a convergência uniforme é equivalente à convergência na norma do supremo. Mais precisamente, consideremos o conjunto das funções ${\textstyle \phi :S\rightarrow \mathbb {R} \,}$ que são limitadas, que designaremos por ${\textstyle {\mathcal {B(S,\mathbb {R} }})}$. Munido das operações de soma de funções e de produto de um escalar real por uma função, este conjunto torna-se num espaço vetorial real (que é, aliás, subespaço do espaço vetorial das funções reais ${\displaystyle {\mathcal {F}}(S,\mathbb {R)} }$). Através da relação ${\displaystyle \lVert \phi \rVert _{\infty }=\sup\{|\phi (x)|:x\in S\}}$ definimos uma aplicação ${\displaystyle \phi \mapsto \lVert \phi \rVert }$ de ${\displaystyle {\mathcal {B(S,\mathbb {R} }})}$ em ${\displaystyle \mathbb {R} }$ que constitui uma norma em ${\displaystyle {\mathcal {B(S,\mathbb {R} }})}$ e que é chamada norma do supremo. É conhecido que para esta norma, ${\displaystyle {\mathcal {B(S,\mathbb {R} }})}$ é um espaço de Banach^[1][2] (p.170).

De notar que se ${\displaystyle f_{n}}$ é uma sucessão de funções em ${\displaystyle {\mathcal {B(S,\mathbb {R} }})}$ que converge uniformemente para ${\displaystyle f}$, então também ${\displaystyle f\in {\mathcal {B(S,\mathbb {R} }})}$. Basta ter em conta que para cada ${\displaystyle x\in S}$ e cada ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$, ${\textstyle |f(x)|\leqslant |f(x)-f_{k}(x)|+|f_{k}(x)|}$. Fixando ${\displaystyle k}$ arbitrariamente, resulta então, para qualquer ${\displaystyle x\in S}$ que ${\textstyle |f(x)|\leqslant \lVert f-f_{k}\rVert _{\infty }+\lVert f_{k}\rVert _{\infty }}$. Logo ${\displaystyle f}$ é limitada em ${\displaystyle S}$.

Continuidade

Tomemos agora ${\displaystyle S}$, não como um simples conjunto mas como um espaço topológico qualquer.

• Seja ${\displaystyle f_{n}:S\rightarrow \mathbb {R} }$ uma sucessão de funções contínuas em ${\displaystyle c\in S}$ que converge uniformemente para ${\displaystyle f}$ em ${\displaystyle S.}$ Então ${\displaystyle f}$ é contínua em ${\displaystyle c}$^[2] (p 132).
• A convergência uniforme preserva a continuidade, ou seja, o limite uniforme de uma seqüência de funções contínuas é uma função contínua.

Se ${\displaystyle S}$ for um espaço métrico compacto, como por exemplo um intervalo limitado e fechado ${\displaystyle [a,b]}$, uma relação mais específica entre continuidade e convergência uniforme foi estabelecida por Ulisse Dini no teorema seguinte o qual é apresentado com maior detalhe por E. L. Lima em^[2] (p.211).

Teorema (de Dini)

Se ${\displaystyle f_{n}:S\rightarrow \mathbb {R} }$ uma sucessão de funções contínuas em ${\displaystyle S}$ que em cada ponto de ${\displaystyle x\in S}$ cresce (ou decresce) para ${\displaystyle f(x)}$ e ${\displaystyle f}$ é também contínua em ${\displaystyle S}$, então ${\displaystyle f_{n}}$ converge unformemente para ${\displaystyle f}$ em ${\displaystyle S}$.

Para o caso de ser ${\displaystyle S=[a,b]}$, uma demonstração diferente é apresentada D. G. Figueiredo^[3].

Diferenciabilidade

Seja ${\displaystyle S=I\subset \mathbb {R} }$ um intervalo da reta real.

• Observe no entanto que a diferenciabilidade não é preservada, podendo uma seqüência de funções deriváveis convergir uniformemente para uma função contínua que não é diferenciável em nenhum ponto. Um exemplo desta patologia (matemática) é a construção da função de Weierstrass. De fato, qualquer função contínua pode ser aproximada uniformemente por funções suaves, veja teorema de Stone-Weierstrass.

• Pode acontecer de uma seqüência de funções suaves convergir uniformemente mas a seqüência das derivadas não convergir em nenhum ponto, eis um exemplo:

${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {\sin nx}{\sqrt {n}}}\,}$

cujas derivadas são:

${\displaystyle f_{n}'(x)={\sqrt {n}}\cos nx\,}$

Que ${\displaystyle f_{n}(x)\,}$ converge uniformemente para zero é fácil ver pois ${\displaystyle |f_{n}(x)|<{\frac {1}{\sqrt {n}}}\,}$. Podemos provar que não existe um ${\displaystyle x\,}$ tal que ${\displaystyle f_{n}'(x)\,}$ é limitado. Para tal, suponha que exista tal ${\displaystyle x\,}$, como ${\displaystyle {\sqrt {n}}\to \infty \,}$, ${\displaystyle \cos(nx)\to 0\,}$ e portanto existe um ${\displaystyle N>0\,}$ com a propriedade:

${\displaystyle n>N\Longleftarrow |\cos(nx)|<{\frac {1}{2}}\,}$, mas então:

${\displaystyle |\cos(2nx)|=|2cos^{2}nx-1|=1-2cos^{2}nx>{\frac {1}{2}}\,}$, o que contradiz a convergência.

• Pode acontecer de ${\displaystyle f_{n}(x)\,}$ convergir uniformemente e ${\displaystyle f_{n}'(x)\,}$ pontualmente mas o limites das derivadas ser diferente da derivado do limite. Exemplo:

${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {x}{1+n^{2}x^{2}}},x\in [-1,1]}$

Como ${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq {\frac {1}{2n}}\,}$, ${\displaystyle f_{n}\,}$ converge uniformemente para zero. A derivado do limite é, portanto, zero. Mas o limites das derivadas é:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}'(x)=\lim _{n\to \infty }{\frac {1-n^{2}x^{2}}{\left(1+n^{2}x^{2}\right)^{2}}}=\left\{{\begin{array}{lr}1,~~x=0\\0,~~x\neq 0\end{array}}\right.\,}$

• Para preservar a diferenciabilidade, precisamos de mais hipóteses sobre a convergência das derivadas, tal como convergência uniforme. Veja espaço de Hölder.

Convergência uniforme e integrais

Coloquemo-nos agora perante a norma do supremo em ${\displaystyle {\mathcal {B([a,b],\mathbb {R} }})}$e atentemos previamente nos três exemplos seguintes.

Exemplo 1

Designemos por ${\displaystyle q_{1},q_{2},...,q_{n},...}$, a sucessões dos racionais no intervalo ${\displaystyle [0,1]}$ e consideremos a sucessão de funções neste intervalo definida através de:

${\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}1,&{\text{se }}x\in \{q_{1},...,q_{n}\}\\0,&{\text{se }}x\in [0,1]\setminus \{q_{1},...,q_{n}\}.\end{cases}}}$

Trata-se de uma sucessão de funções limitadas, cada uma apenas com um número finito de descontinuidades, logo integráveis à Riemann. Para cada ${\displaystyle x\in [0,1]}$, a correspondente função limite ${\displaystyle f(x)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)}$ é a função de Dirichlet

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1,&{\text{se }}x\in \mathbb {Q} \\0,&{\text{se }}x\in [0,1]\setminus \mathbb {Q} ,\end{cases}}}$

a qual como é conhecido não é integrável à Riemann.

Por outro lado, ${\displaystyle \lVert f_{n}-f\rVert _{\infty }=\sup\{|f_{n}(x)-f(x)|:x\in [a,b]\}=1}$, qualquer que seja ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Logo a convergência não é uniforme, mas apenas pontual.

Exemplo 2

Seja

${\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}1+x+...+x^{n},&{\text{se }}x\in [0,1[,\\0,&{\text{se }}x=1.\end{cases}}}$

Trata-se de uma sucessão de funções limitadas em ${\displaystyle [0,1]}$ (${\displaystyle 0\leq f_{n}(x)\leq n}$, para cada ${\displaystyle x\in [0,1]}$) com apenas uma descontinuidade em ${\displaystyle x=1}$, consequentemente integráveis. Contudo, a função limite é dada por

${\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}1/(1-x),&{\text{se }}x\in [0,1[,\\0,&{\text{se }}x=1,\end{cases}}}$

a qual nem sequer é limitada, não podendo portanto haver convergência uniforme.

Exemplo 3

Mas para ${\displaystyle f_{n}(x)=x/n}$, com ${\displaystyle x}$ em ${\displaystyle [0,1]}$, temos uma sucessão de funções contínuas, em que a função limite é a função identicamente nula, obviamente integrável, sendo

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{0}^{1}{\frac {x}{n}}dx=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{2n}}=0.}$

Observe-se que neste caso a convergência é uniforme pois

${\displaystyle \lVert f_{n}-f\rVert _{\infty }=\sup\{{\frac {x}{n}}:x\in [0,1]\}={\frac {1}{n}}\rightarrow 0}$.

Isto é, apenas neste último exemplo, a função limite é integrável e tem-se a validade da seguinte fórmula

${\displaystyle \int _{a}^{b}(\lim _{n\to \infty }f_{n})(x)\,\mathrm {d} x=\lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f_{n}(x)\,\mathrm {d} x.}$

Precisamente, o que sucede neste exemplo e não sucede nos outros, é que há convergência uniforme da sucessão de funções ${\displaystyle f_{n}}$ para a função limite ${\displaystyle f}$. Na verdade, é válido o teorema seguinte.

Teorema 1 (da Convergência Uniforme)

Seja ${\displaystyle f_{n}(x)}$ uma sucessão de funções integráveis em ${\displaystyle [a,b]}$, convergindo uniformemente para ${\displaystyle f(x)\,}$. Isto é, ${\displaystyle f_{n}}$ é uma sucessão em ${\displaystyle {\mathcal {B([a,b],\mathbb {R} }})}$ tal que ${\displaystyle \lVert f_{n}-f\rVert _{\infty }\rightarrow 0}$. Então ${\displaystyle f\,}$ é integrável em ${\displaystyle [a,b]}$ e:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f_{n}(x)\,\mathrm {d} x\to \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}$.

Este resultado é válido tanto para a integral de Riemann como para a integral de Lebesgue.

No caso do integral de Lebesgue a simples convergência pontual é suficiente para garantir a integrabilidade à Lebesgue.

Para o integral de Rieman temos de mostrar que o conjunto ${\displaystyle D}$, das descontinuidades de ${\displaystyle f}$, tem medida de Lebesgue nula. Observemos que se ${\displaystyle D_{n}}$ for o conjunto das descontinuidades de ${\displaystyle f_{n}}$, como a convergência uniforme conserva a continuidade, temos que ${\textstyle \bigcap _{n=1}^{\infty }([a,b]\setminus D_{n})\subset [a,b]\setminus D}$. Logo ${\textstyle D\subset \bigcup _{n=1}^{\infty }D_{n}}$. Tendo o conjunto da direita, por via da integrabilidade à Riemann de cada função ${\displaystyle f_{n}}$, medida de Lebesgue nula, o mesmo sucede a ${\displaystyle D}$. Logo ${\displaystyle f}$ é integrável à Riemann.

Por outro lado, a diferença

${\displaystyle |\int _{a}^{b}f_{n}(x)\,\mathrm {d} x-\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x|\leq \int _{a}^{b}|f_{n}(x)-f(x)|\,\mathrm {d} x\leq \lVert f_{n}-f\rVert _{\infty }(b-a)}$

pelo que

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f_{n}(x)\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x.}$

Este argumento é válido para os dois integrais.

Ver também

• Convergência pontual
• Norma do supremo
• Espaço de Hölder

Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o. v d e