Base ortonormal

Em álgebra linear, uma base γ {\displaystyle \gamma } composta pelos vetores u 1 → , u 2 → , u 3 → , . . . {\displaystyle {\vec {u_{1}}},{\vec {u_{2}}},{\vec {u_{3}}},...} de um espaço vetorial V {\displaystyle V} é ortonormal se, além de ser uma base ortogonal, seus vetores forem unitários.[1][2][3] Ser ortogonal significa que o produto interno entre pares de vetores distintos dessa base são igual a zero, ou seja,

u i → ⋅ u j → = 0 {\displaystyle {\vec {u_{i}}}\cdot {\vec {u_{j}}}=0} ∀ i ≠ j {\displaystyle \forall i\neq j} .

Ademais, estar normalizado significa que os vetores da base são todos unitários, ou seja,

| u i → | = 1 {\displaystyle |{\vec {u_{i}}}|=1} para i = 1 , 2 , 3 , . . . {\displaystyle i=1,2,3,...} .

Essas duas definições podem ser condensadas assim:

u i → ⋅ v j → = δ i j {\displaystyle {\vec {u_{i}}}\cdot {\vec {v_{j}}}=\delta _{ij}} , onde δ i j = { 0 i ≠ j 1 i = j {\displaystyle \delta _{ij}=\left\{{\begin{array}{ll}0&i\neq j\\1&i=j\end{array}}\right.\quad }

Normalização

Para transformar uma base ortogonal γ {\displaystyle \gamma } qualquer em ortonormal, basta fazer com que o conjunto de seus vetores tenham módulo igual a 1. Se a base é composta por u 1 → , u 2 → , u 3 → , . . . {\displaystyle {\vec {u_{1}}},{\vec {u_{2}}},{\vec {u_{3}}},...} , pode-se realizar isso por meio da divisão de cada vetor pelo seu respectivo módulo, um processo nomeado normalização[2]. Em outras palavras:

u ^ i = u → i | u → i | {\displaystyle {{\hat {u}}_{i}}={\frac {{\vec {u}}_{i}}{|{\vec {u}}_{i}|}}} para i = 1 , 2 , 3 , . . . {\displaystyle i=1,2,3,...}

em que u ^ {\displaystyle {\hat {u}}} indica que este é um vetor unitário. A nova base β {\displaystyle \beta } composta por u 1 ^ , u 2 ^ , u 3 ^ , . . . {\displaystyle {\hat {u_{1}}},{\hat {u_{2}}},{\hat {u_{3}}},...} será então uma base ortonormal.

Exemplo 1

Dada a base ortogonal α {\displaystyle \alpha } composta pelos vetores ( 7 , 0 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 ) {\displaystyle ({\sqrt {7}},0,0),(0,1,0)} e ( 0 , 0 , − 13 ) {\displaystyle (0,0,-13)} , determine uma base ortonormal que gere o mesmo espaço vetorial.

Ao realizar o produto interno entre pares de vetores distintos, verifica-se que a base é de fato ortogonal. Para torná-la ortonormal, deve-se dividir cada vetor pelo seu módulo:

v ^ 1 = 1 ( 7 ) 2 ( 7 , 0 , 0 ) = ( 1 , 0 , 0 ) {\displaystyle {\hat {v}}_{1}={\frac {1}{\sqrt {({\sqrt {7}})^{2}}}}({\sqrt {7}},0,0)=(1,0,0)}
v ^ 2 = 1 1 2 ( 0 , 1 , 0 ) = ( 0 , 1 , 0 ) {\displaystyle {\hat {v}}_{2}={\frac {1}{\sqrt {1^{2}}}}(0,1,0)=(0,1,0)}
v ^ 3 = 1 ( − 13 ) 2 ( 0 , 0 , − 13 ) = ( 0 , 0 , 1 ) {\displaystyle {\hat {v}}_{3}={\frac {1}{\sqrt {(-13)^{2}}}}(0,0,-13)=(0,0,1)}

Os vetores ( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 ) {\displaystyle (1,0,0),(0,1,0)} e ( 0 , 0 , 1 ) {\displaystyle (0,0,1)} formam, então, uma base ortonormal. Essa é a base canônica em R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} .

Exemplo 2

Dado o conjunto formado pelos vetores ( 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 1 ) {\displaystyle (0,0,0,1,0,1)} e ( − 1 , 1 , 1 , 2 , 0 , − 2 ) {\displaystyle (-1,1,1,2,0,-2)} , encontre uma base ortonormal que gere o mesmo espaço.

Realizando o produto interno entre os dois vetores, verifica-se a ortogonalidade entre eles. Agora, é necessário torná-los unitários:

u ^ 1 = 1 1 2 + 1 2 ( 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 1 ) = 1 2 ( 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 1 ) {\displaystyle {\hat {u}}_{1}={\frac {1}{\sqrt {1^{2}+1^{2}}}}(0,0,0,1,0,1)={\frac {1}{\sqrt {2}}}(0,0,0,1,0,1)}
u ^ 2 = 1 ( − 1 ) 2 + 1 2 + 1 2 + 2 2 + ( − 2 ) 2 ( − 1 , 1 , 1 , 2 , 0 , − 2 ) = 1 11 ( − 1 , 1 , 1 , 2 , 0 , − 2 ) {\displaystyle {\hat {u}}_{2}={\frac {1}{\sqrt {(-1)^{2}+1^{2}+1^{2}+2^{2}+(-2)^{2}}}}(-1,1,1,2,0,-2)={\frac {1}{\sqrt {11}}}(-1,1,1,2,0,-2)}

Logo, 1 2 ( 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 1 ) {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(0,0,0,1,0,1)} e 1 11 ( − 1 , 1 , 1 , 2 , 0 , − 2 ) {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {11}}}(-1,1,1,2,0,-2)} compõem uma base ortonormal.

Ver também

Referências

  1. ↑ Espaços Euclidianos
  2. ↑ a b Curso de Álgebra Linear - Fundamentos e Aplicações, p.139, p.140
  3. ↑ http://www.mat.puc-rio.br/cursos/MAT1200/roteiros/aula22091.pdf

Bibliografia

  1. Seymour Lipschutz, Marc Lipson, Algebra Linear: Coleção Schaum , Bookman, 2011 ISBN 8-540-70041-7
  2. Alesio João de Caroli, Carlos Alberto Callioli, Miguel Oliva Feitosa, Matrizes vetores geometria analítica , NBL Editora, 1986 ISBN 8-521-30406-4
  3. Antonio Fernando Ribeiro De Toledo Piza, Mecânica Quântica Vol. 51, EdUSP, 2003 ISBN 8-531-40748-6
  4. Dennis G. Zill, Michael R. Cullen, Matemática Avançada para Engenharia - Vol II, Volume 2, Bookman, 2009 ISBN 8-577-80497-6
  5. Paulo S. R. Diniz, Eduardo A. B. da Silva, Sergio L. Netto, Processamento Digital de Sinais - 2.ed.: Projeto e Análise de Sistemas , Bookman Editora, 2014 ISBN 8-582-60124-7
  6. Avinash Chandra Bajpai, L. R. Mustoe, Dennis Walker, Advanced Engineering Mathematics, Hemus, 1977 ISBN 0-471-99520-7
  7. HELIO MAGALHAES DE OLIVEIRA, Análise de Sinais para Engenheiros, Brasport ISBN 8-574-52283-X
  8. A. Quarteroni, F. Saleri, CÁLCULO CIENTÍFICO com MATLAB e Octave, Springer Science & Business Media, 2007 ISBN 8-847-00718-6

Ligações externas

  • Weisstein, Eric W. «Base Ortonormal» (em inglês). MathWorld  (em inglês)
Ícone de esboço Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o.
  • v
  • d
  • e
  • Portal da matemática