Anel noetheriano

Em álgebra abstracta, um anel noetheriano é um anel comutativo que satisfaz a condição da cadeia ascendente para ideais. O termo noetheriano é uma homenagem à matemática alemã Emmy Noether.

Anéis de polinômios sobre corpos possuem muitas propriedades especiais; propriedades que derivam do fato de que anéis polinomiais não são em certo sentido "grandes demais". Emmy Noether descobriu que uma propriedade fundamental dos anéis de polinômios é a propriedade da cadeia ascendente para ideais.

Para anéis não-comutativos, devemos fazer algumas distinções entre conceitos similares:

• Um anel é dito noetheriano à esquerda caso satisfaça a condição da cadeia ascendente para ideais à esquerda.
• Um anel é dito noetheriano à direita caso satisfaça a condição da cadeia ascendente para ideais à direita.
• Um anel é dito noetheriano caso seja noetheriano tanto à esquerda quanto à direita.

Para anéis comutativos as três definições coincidem.

Caracterização dos anéis noetherianos

Existem outras definições equivalentes para anel noetheriano:

• Todo ideal ${\displaystyle I}$ é finitamente gerado, isto é, existem ${\displaystyle a_{1},...,a_{n}}$ em ${\displaystyle R}$ tais que todo elemento de ${\displaystyle I}$ pode ser escrito na forma ${\displaystyle r_{1}a_{1}+...+r_{n}a_{n},}$ onde ${\displaystyle \{r_{1},...,r_{n}\}\subset R.}$^[1]
• Todo subconjunto não-vazio de ideais de ${\displaystyle R}$ possui ideal maximal com respeito à inclusão.^[1]

Resultados similares existem para anéis noetherianos à esquerda e à direita.

É sabido que para um anel comutativo ${\displaystyle R,}$ se todo ideal primo for finitamente gerado, então ${\displaystyle R}$ é noetheriano.

Utilização dos anéis noetherianos

A propriedade noetheriana é central na teoria dos anéis e em áreas que utilizam de forma intensiva o conceito de anéis, como a geometria algébrica e a teoria de singularidades. A razão para isto é que a propriedade noetheriana é uma espécie de conceito de finitude na teoria dos anéis. Por exemplo, a propriedade noetheriana de que todo anel de polinômios com coeficientes em um dado corpo é noetheriano permite-nos provar que um sistema infinito de equações polinomiais pode ser substituído por um sistema finito de equações polinomiais com as mesmas soluções.

Como outra aplicação, mencionamos o teorema do ideal principal de Krull: todo ideal principal em um anel comutativo noetheriano tem altura um. Este foi o primeiro resultado a sugerir que os anéis noetherianos constituem uma profunda teoria da dimensão.

Exemplos

• O anel dos inteiros ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$
• Qualquer corpo, pois um corpo possui apenas os ideais triviais.
• ${\displaystyle k[x],}$ onde ${\displaystyle k}$ é um corpo.

Temos também os seguintes exemplos de anéis que não são noetherianos:

• O anel dos polinômios em infintas variáveis, ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots }$ A sequência de ideais ${\displaystyle (X_{1}),(X_{1},X_{2}),(X_{1},X_{2},X_{3}),\ldots }$ é ascendente, e não é estacionária.
• O anel ${\displaystyle F}$ das funções contínuas de ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ Definindo para cada inteiro positivo ${\displaystyle I_{n}=\{f\in F\mid f(k)=0,\forall k\in \{0,...,n\}\},}$ temos que a cadeia de ideais ${\displaystyle \{I_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ não é estacionária.

Propriedades

• Pelo teorema da base de Hilbert, ${\displaystyle \mathbb {R} [x]}$ é noetheriano.
• Toda álgebra comutativa finitamente gerada sobre um corpo é um noetheriana.
• Todo anel artiniano à esquerda, (resp. à direita), é um anel noetheriano à esquerda, (resp. à esquerda), pelo teorema de Akizuki-Hopkins-Levitzki.
• Um anel ${\displaystyle R}$ é noetheriano à esquerda se, e somente se, todo ${\displaystyle R}$-módulo é um módulo noetheriano.

Referências

• Lang, Serge (1994). Algebra 3 ed. [S.l.]: Addison-Wesley Pub. Co. ISBN 9780201555400 
• Lam, T.Y. (2001). A first course in noncommutative rings 2 ed. New York: Springer. p. 19. ISBN 0387951830