Wiązka styczna

Wiązka styczna ${\displaystyle \mathrm {T} M}$ do rozmaitości różniczkowej ${\displaystyle M}$ – zbiór wszystkich przestrzeni stycznych ${\displaystyle \mathrm {T} _{x}M}$ do poszczególnych punktów ${\displaystyle x}$ rozmaitości^[1].

Topologia wiązki stycznej

Wiązka styczna posiada naturalną topologię: jeżeli rozmaitość jest klasy ${\displaystyle \mathbb {C} ^{k},}$ ${\displaystyle k\geqslant 1,}$ to wraz z topologią wiązek stycznych tworzy rozmaitość topologiczną klasy ${\displaystyle \mathbb {C} ^{k-1}.}$

Elementy wiązki stycznej

Niech ${\displaystyle \mathrm {T} _{x}M}$ oznacza przestrzeń styczną do ${\displaystyle M}$ w punkcie ${\displaystyle x\in M,}$ a ${\displaystyle v}$ – wektor styczny do ${\displaystyle M}$ w punkcie ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle v\in \mathrm {T} _{x}M.}$ Wtedy:

Elementami wiązki stycznej ${\displaystyle \mathrm {T} M}$ są pary ${\displaystyle (x,v).}$

Przykład

Jeżeli rozmaitością ${\displaystyle M}$ jest krzywa (np. okręgiem, parabolą itp.), to:

• przestrzeń styczna ${\displaystyle \mathrm {T} _{x_{1}}M}$ – to prosta styczna do krzywej w punkcie ${\displaystyle x_{1},}$
• przestrzeń styczna ${\displaystyle \mathrm {T} _{x_{2}}M}$ – to prosta styczna do krzywej w punkcie ${\displaystyle x_{2},}$
• itd.

Zbiór wszystkich prostych, stycznych do krzywej w poszczególnych jej punktach, razem z tymi punktami, tworzy wiązkę styczną danej krzywej ${\displaystyle M.}$

Jeżeli krzywa ${\displaystyle M}$ jest krzywą opisaną równaniami klasy ${\displaystyle \mathbb {C} ^{1},}$ to wiązka styczna jest rozmaitością topologiczną klasy ${\displaystyle \mathbb {C} ^{0}.}$

Zobacz też

• wiązka kostyczna
• wiązka wektorowa

Przypisy

Linki zewnętrzne

• Tangent bundle (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].