Twierdzenie Kołmogorowa o trzech szeregach

Twierdzenie Kołmogorowa o trzech szeregach – twierdzenie teorii prawdopodobieństwa dotyczące zbieżności szeregów niezależnych zmiennych losowych. Jest to warunek konieczny i dostateczny zbieżności. Twierdzenie to było opublikowane w 1925 w pracy autorstwa Andrieja Kołmogorowa i Aleksandra Chinczyna.

Twierdzenie

Niech ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych.

Szereg ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }X_{n}}$ jest zbieżny prawie wszędzie wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ${\displaystyle c\in \mathbb {R} ,c>0}$ takie, że poniższe trzy szeregi są zbieżne:

1. ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\operatorname {P} (|X_{n}|>c)}$
2. ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\operatorname {Var} (X_{n}^{(c)})}$
3. ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\operatorname {E} (X_{n}^{(c)}),}$

gdzie ${\displaystyle X_{n}^{(c)}={\begin{cases}\ X_{n},&{\text{ gdy }}|X_{n}|\leqslant c\\\quad 0,&{\text{ gdy }}|X_{n}|>c\end{cases}}.}$

Ponadto, jeżeli szereg ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }X_{n}}$ jest zbieżny prawie wszędzie, to szeregi 1.,2.,3. są zbieżne dla każdego ${\displaystyle c>0.}$ Zatem zbieżność szeregów 1.,2.,3. dla pewnego ${\displaystyle c>0}$ implikuje ich zbieżność dla wszystkich ${\displaystyle c>0.}$

Bibliografia

• Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: Script, 2004, s. 151. ISBN 83-89716-01-1.