Translacja (matematyka)
Ten artykuł dotyczy matematyki. Zobacz też: strona ujednoznaczniająca translacja. |
| Ten artykuł od 2010-11 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary) Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu. |
Translacja, przesunięcie równoległe[1] – przekształcenie prostej, płaszczyzny lub dowolnej przestrzeni afinicznej, które można intuicyjnie rozumieć jako równoległe przesunięcie wszystkich punktów dziedziny bez jej deformacji i obracania.
Definicja
Niech będzie dowolnym wektorem (swobodnym) pewnej przestrzeni afinicznej
Translacją nazywamy przekształcenie dane wzorem:
Wektor nazywamy wektorem translacji.
Niekiedy także obraz figury w przekształceniu nazywa się translacją figury o wektor i oznacza
Własności
Jeśli to translacja jest przekształceniem tożsamościowym; jeśli zaś to nie ma żadnego punktu stałego.
Translacje wraz ze składaniem tworzą grupę izomorficzną z grupą addytywną przestrzeni liniowej stowarzyszonej z daną przestrzenią afiniczną. Jest więc izomorficzna z grupą wektorów swobodnych.
Translacja w przestrzeniach euklidesowych[2] jest izometrią, nie zmienia zatem kształtu figury ani żadnej relacji wewnętrznej między jej elementami, natomiast zmienia jej położenie w stosunku do pozostałych (nie podlegających translacji) figur.
Ważną własnością grupy translacji w przestrzeniach euklidesowych jest to, że dla dowolnej translacji i dowolnej izometrii przekształcenie też jest translacją. W języku teorii grup oznacza to, że grupa translacji jest podgrupą normalną grupy izometrii. Ponadto Iloraz grupy izometrii przez podgrupę translacji jest izomorficzny z grupą ortogonalną.
Niezmiennikiem definiującym grupę translacji jest długość i zwrot wektora.
Wśród wielu niezmienników izometrii najważniejszymi niezmiennikami translacji są:
Każda translacja prostej jest złożeniem dwóch symetrii punktowych, translacja na płaszczyźnie jest złożeniem pewnych dwóch symetrii osiowych o równoległych osiach, analogicznie translacja w przestrzeni jest złożeniem dwóch symetrii płaszczyznowych o równoległych płaszczyznach.
Każda translacja jest złożeniem pewnych dwóch symetrii środkowych (w przestrzeniach dowolnego wymiaru).
Przypisy
- BNCF: 24442
- Britannica: topic/translation-mathematics
- SNL: translasjon_-_matematikk
- Catalana: 0214895