Sedeniony

Sedeniony (symbol S {\displaystyle \mathbb {S} } ) – rodzina liczb hiperzespolonych.

Sedeniony tworzą 16-wymiarową algebrę nad ciałem liczb rzeczywistych, utworzoną przez zastosowanie konstrukcji Cayleya-Dicksona do oktonionów.

Każdy sedenion można przedstawić jako kombinację liniową sedenionów 1 , {\displaystyle 1,} e 1 , {\displaystyle e_{1},} e 2 , {\displaystyle e_{2},} e 3 , {\displaystyle e_{3},} e 4 , {\displaystyle e_{4},} e 5 , {\displaystyle e_{5},} e 6 , {\displaystyle e_{6},} e 7 , {\displaystyle e_{7},} e 8 , {\displaystyle e_{8},} e 9 , {\displaystyle e_{9},} e 10 , {\displaystyle e_{10},} e 11 , {\displaystyle e_{11},} e 12 , {\displaystyle e_{12},} e 13 , {\displaystyle e_{13},} e 14 , {\displaystyle e_{14},} e 15 , {\displaystyle e_{15},} które tworzą bazę przestrzeni liniowej sedenionów nad ciałem liczb rzeczywistych.

Działania na sedonionach

Tak jak w przypadku oktonionów, mnożenie sedenionów nie jest przemienne ani łączne. Jest ono rozdzielne względem dodawania. Sedeniony mają multiplikatywne odwrotności oraz 1 {\displaystyle 1} jako element neutralny mnożenia. Sedeniony są też najmniejszą rodziną liczb hiperzespolonych zawierającą dzielniki zera.

Dodawanie na sedonionach jest dodawaniem wektorów w przestrzeni 16-wymiarowej nad ciałem liczb rzeczywistych. Natomiast mnożenie definiuje poniższa tabela (ze względu na rozdzielność mnożenia względem dodawania):

× 1 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15
1 1 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15
e1 e1 −1 e3 −e2 e5 −e4 −e7 e6 e9 −e8 −e11 e10 −e13 e12 e15 −e14
e2 e2 −e3 −1 e1 e6 e7 −e4 −e5 e10 e11 −e8 −e9 −e14 −e15 e12 e13
e3 e3 e2 −e1 −1 e7 −e6 e5 −e4 e11 −e10 e9 −e8 −e15 e14 −e13 e12
e4 e4 −e5 −e6 −e7 −1 e1 e2 e3 e12 e13 e14 e15 −e8 −e9 −e10 −e11
e5 e5 e4 −e7 e6 −e1 −1 −e3 e2 e13 −e12 e15 −e14 e9 −e8 e11 −e10
e6 e6 e7 e4 −e5 −e2 e3 −1 −e1 e14 −e15 −e12 e13 e10 −e11 −e8 e9
e7 e7 −e6 e5 e4 −e3 −e2 e1 −1 e15 e14 −e13 −e12 e11 e10 −e9 −e8
e8 e8 −e9 −e10 −e11 −e12 −e13 −e14 −e15 −1 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7
e9 e9 e8 −e11 e10 −e13 e12 e15 −e14 −e1 −1 −e3 e2 −e5 e4 e7 −e6
e10 e10 e11 e8 −e9 −e14 −e15 e12 e13 −e2 e3 −1 −e1 −e6 −e7 e4 e5
e11 e11 −e10 e9 e8 −e15 e14 −e13 e12 −e3 −e2 e1 −1 −e7 e6 −e5 e4
e12 e12 e13 e14 e15 e8 −e9 −e10 −e11 −e4 e5 e6 e7 −1 −e1 −e2 −e3
e13 e13 −e12 e15 −e14 e9 e8 e11 −e10 −e5 −e4 e7 −e6 e1 −1 e3 −e2
e14 e14 −e15 −e12 e13 e10 −e11 e8 e9 −e6 −e7 −e4 e5 e2 −e3 −1 e1
e15 e15 e14 −e13 −e12 e11 e10 −e9 e8 −e7 e6 −e5 −e4 e3 e2 −e1 −1
  • p
  • d
  • e
Algebry nad ciałami liczbowymi
liczby hiperzespolone
  • kwaterniony (ℍ)
  • oktoniony (𝕆)
  • sedeniony (𝕊)
  • kokwaterniony
  • bikwaterniony
  • tessariny
inne konkretne zbiory
algebry Banacha
inne klasy algebr
twierdzenia